Question

Докажите что для любого натурального n верно равенство:      (n+1)!-n!+(n-1)!=  (n+1) в квадрате (n-1)!                  

Answer 1

(n+1)!=1*2*3*...*(n-1)*n*(n+1)=(n-1)!*n*(n+1)
n!=1*2*3...*(n-1)*n=(n-1)!*n
(n+1)! - n! +(n-1)!= (n-1)!*n*(n+1) - (n-1)! * n + (n-1)!=
                         =(n-1)! * [ n*(n+1) - n + 1]=
                         =(n-1)! * [ n^2+n -n +1 ]=
                         =(n-1)! * (n^2+1)
Вот так получится  (n^2 - это " эн в квадрате" )

Answer 2

Для доказательства данного равенства воспользуемся свойствами факториала и алгебраическими преобразованиями.

Пусть натуральное число n произвольно.

Выражение в левой части равенства:

(n+1)! - n! + (n-1)!

Мы заметим, что (n+1)! можно переписать как (n+1) * n!, поскольку факториал числа n+1 является произведением чисел от 1 до n+1, а это в точности n! умноженное на (n+1). Таким образом, мы можем переписать выражение в левой части следующим образом:

(n+1) * n! - n! + (n-1)!

Теперь мы можем провести сокращение общего множителя n!:

n! * [(n+1) - 1] + (n-1)!

(n+1 - 1) * n! + (n-1)!

n * n! + (n-1)!

Обратимся теперь к выражению в правой части равенства:

(n+1)² * (n-1)!

Раскроем квадрат:

(n+1) * (n+1) * (n-1)!

(n+1) * n * (n-1)!

Обратим внимание, что выражение в правой части имеет такую же форму, как и выражение в левой части после алгебраических преобразований.

Таким образом, мы показали, что выражение в левой части равно выражению в правой части:

n * n! + (n-1)! = (n+1) * n * (n-1)!

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального числа n выполняется данное равенство:

(n+1)! - n! + (n-1)! = (n+1)² * (n-1)!