Question

Тригонометрия!!!!СРОЧНО!!!50 баллов!Решите уравнение: ПОДРОБНО sin^4(x)+cos^4 (x)=cos^2(2x)+1/4

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Попытка номер 2 )))

$sin^4(x)+cos^4(x)=cos^2(2x)+ \frac{1}{4} \\(sin^2(x)-cos^2(x))^2-2sin^2(x)cos^2(x)=cos^2(2x)+\frac{1}{4} \\1-\frac{(2sin(x)cos(x))^2}{2}=cos^2(2x)+\frac{1}{4} \\1-\frac{1}{2} sin^2(2x)=cos^2(2x)+\frac{1}{4} \\sin^2(2x)=1-sin^2(2x)+\frac{1}{4} \\sin^2(2x)=2sin^2(2x)-\frac{1}{2}\\-sin^2(2x)=-\frac{1}{2} \\|sin(2x)|=\frac{ \sqrt{2} }{2} \\sin(2x)=\frac{ \sqrt{2} }{2} \\2x=arcsin(\frac{ \sqrt{2} }{2} )\\2x=\frac{\pi }{4}+2\pi k\\x=\frac{\pi }{8} +\pi k\\sin(\pi-2x)=\frac{ \sqrt{2} }{2}$
$> У нас получилось: <img src=$
Если не искать объединение на круге ,то можно записать такой ответ ,а если найти его ,то ответ будет таким 
$x=\frac{\pi}{8} +\frac{\pi k}{4}$

Answer 3

Давайте решим данное уравнение поэтапно.

Уравнение: sin^4(x) + cos^4(x) = cos^2(2x) + 1/4

Заметим, что sin^4(x) + cos^4(x) = (sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2

А также, cos^2(2x) = (cos(2x))^2 = (2cos^2(x) - 1)^2

Заменим в уравнении и упростим:

(sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 = (2cos^2(x) - 1)^2 + 1/4

После раскрытия скобок получим:

(sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1 + 1/4

Упростим правую часть:

(sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 5/4

Теперь объединим слагаемые на левой стороне:

(sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 - 4cos^4(x) + 4cos^2(x) - 5/4 = 0

Заметим, что (sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 = 1, так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тождество Пифагора).

Тогда уравнение примет вид:

1 - 4cos^4(x) + 4cos^2(x) - 5/4 = 0

Упростим уравнение ещё больше:

-4cos^4(x) + 4cos^2(x) - 1/4 = 0

Перемножим все слагаемые на -4, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

16cos^4(x) - 16cos^2(x) + 1 = 0

Обозначим cos^2(x) = t:

16t^2 - 16t + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно t с помощью квадратного корня:

t = (16 ± √(16^2 - 4 * 16 * 1)) / (2 * 16) t = (16 ± √(256 - 64)) / 32 t = (16 ± √192) / 32

Дальнейшие вычисления показывают, что √192 ≈ 13.8564.

Подставим значения в выражение для t:

t = (16 ± 13.8564) / 32

Таким образом, получаем два значения для t:

t₁ = (16 + 13.8564) / 32 ≈ 0.8529 t₂ = (16 - 13.8564) / 32 ≈ 0.1094

Теперь найдем значения cos(x) для каждого из этих значений t