Question

Решите уравнение: 4y3 - 2y2 + 2y + 8 = 0

Answer 1

2у³ - у² + у + 4 = 0
Тут вот какая штука. Корнями многочлена являются делители свободного члена. А это числа  +- 1, +-2, +-4
Будем проверять
а) х = 1
2 - 1 +1 +4 ≠0
б) х = -1
- 2 -1 - 1 +4 = 0
Попробуем разделить многочлен 2у³ - у² + у + 4 на (х +1). Получим 2у² -3у +4
Этот трёхчлен корней не имеет (D<0)
Значит, наше условие будет выглядеть (у +1)( 2у² - 3у + 4) = 0⇒
⇒ у + 1 = 0 ⇒ у = -1
Ответ: -1

Answer 2

Данное уравнение представляет собой кубическое уравнение вида:

4y^3 - 2y^2 + 2y + 8 = 0.

К сожалению, кубические уравнения не всегда могут быть решены аналитически. Однако мы можем воспользоваться численными методами для приближенного решения уравнения.

Один из численных методов для решения уравнений — метод Ньютона. Для его применения необходимо выбрать начальное приближение. Начнем с y = 1.

Применим метод Ньютона для нахождения корня уравнения.

Первоначальное приближение: y = 1. Итерация 1: f(y) = 4y^3 - 2y^2 + 2y + 8 f'(y) = 12y^2 - 4y + 2

y1 = y0 - f(y0)/f'(y0) = 1 - (4(1)^3 - 2(1)^2 + 2(1) + 8)/(12(1)^2 - 4(1) + 2) = 1 - (4 - 2 + 2 + 8)/(12 - 4 + 2) = 1 - 12/10 = 1 - 1.2 = -0.2

Итерация 2: f(y) = 4y^3 - 2y^2 + 2y + 8 f'(y) = 12y^2 - 4y + 2

y2 = y1 - f(y1)/f'(y1) = -0.2 - (4(-0.2)^3 - 2(-0.2)^2 + 2(-0.2) + 8)/(12(-0.2)^2 - 4(-0.2) + 2) = -0.2 - (-0.008 - 0.008 - 0.4 + 8)/(-0.48 - 0.8 + 2) = -0.2 - (7.584 - 0.4 + 8)/1.28 = -0.2 - 15.184/1.28 = -0.2 - 11.875 = -12.075

Итерация 3: f(y) = 4y^3 - 2y^2 + 2y + 8 f'(y) = 12y^2 - 4y + 2

y3 = y2 - f(y2)/f'(y2) = -12.075 - (4(-12.075)^3 - 2(-12.075)^2 + 2(-12.075) + 8)/(12(-12.075)^2 - 4(-12.075) + 2) ≈ -12.075 - (-9.988 + 2.746 + 2.742 + 8)/(-1.732 + 4.83 + 2) ≈ -12.075 - 3.006/-1.898 ≈ -12.075 + 1.582