Question

Докажите что при всех целых значения (k+4)(k+5)-k(k-1) делится на 10

Answer 1

=(k^2+9k+20-k^2+k)=(10k+20)=10*(k+2)

если один из множителей делится на 10, то и произведение делится на 10.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Для k = 1, выражение (k+4)(k+5)-k(k-1) принимает значение (1+4)(1+5)-1(1-1) = 5(6) = 30, которое делится на 10 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что при k = n выражение (n+4)(n+5)-n(n-1) делится на 10, то есть (n+4)(n+5)-n(n-1) = 10m, где m - целое число.

Шаг 3: Доказательство для k = n+1 Рассмотрим выражение для k = n+1: ((n+1)+4)((n+1)+5)-(n+1)(n+1-1) = (n+5)(n+6)-(n+1)n = n^2 + 11n + 30 - n^2 - n = 10n + 30.

По предположению индукции, (n+4)(n+5)-n(n-1) = 10m, следовательно, мы можем записать 10n + 30 как 10m + 30 = 10(m+3).

Таким образом, мы видим, что выражение (n+1+4)(n+1+5)-(n+1)(n+1-1) также делится на 10 без остатка.

Шаг 4: Заключение Мы показали, что если утверждение выполняется для k = n, то оно выполняется и для k = n+1. Исходя из базового случая (k = 1), мы можем сделать вывод, что утверждение верно для всех целых значений k.

Таким образом, можно сказать, что для всех целых значений (k+4)(k+5)-k(k-1) делится на 10.