Question

Решить уравнение cos^2 x - 3cosxsinx + 1 = 0

Answer 1

Воспользуемся тем, что:
$sin^2x+cos^2x=1$
тогда:
$cos^2 x - 3cosxsinx+(sin^2x+cos^2x)=0 \\2cos^2x- 3cosxsinx+sin^2x=0 \\ sin^2x- 3cosxsinx+2cos^2x=0 \\ \frac{sin^2x}{cos^2x} -3* \frac{sinx}{cosx} +2=0 \\tg^2x-3tgx+2=0 \\tgx=y \\y^2-3y+2=0 \\D=9-8=1 \\y_1= \frac{3+1}{2} =2 \\y_2= \frac{3-1}{2} =1 \\tgx=2 \\x_1=arctg(2)+\pi n,\ n \in Z \\tgx=1 \\x_2= \frac{\pi}{4} +\pi n,\ n \in Z$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

cos^2(x) - 3cos(x)sin(x) + 1 = 0

Мы можем заметить, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно cos(x). Давайте введем замену y = cos(x). Тогда уравнение примет следующий вид:

y^2 - 3y*sin(x) + 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно y, используя квадратное уравнение:

y = (3sin(x) ± √((3sin(x))^2 - 4))/2

Теперь заменим обратно y на cos(x):

cos(x) = (3sin(x) ± √((3sin(x))^2 - 4))/2

Упростим выражение:

cos(x) = (3sin(x) ± √(9sin^2(x) - 4))/2

Теперь мы можем решить это уравнение, рассматривая два случая для каждого знака ±.

1. Пусть cos(x) = (3sin(x) + √(9sin^2(x) - 4))/2

Мы можем использовать тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1 для замены sin^2(x):

cos(x) = (3sin(x) + √(9(1 - cos^2(x)) - 4))/2

Упростим:

2cos(x) = 3sin(x) + √(9 - 9cos^2(x) - 4) 2cos(x) = 3sin(x) + √(5 - 9cos^2(x))

Теперь возведем оба выражения в квадрат:

4cos^2(x) = 9sin^2(x) + 5 - 9cos^2(x) 13cos^2(x) - 9sin^2(x) = 5

Используем тригонометрическую идентичность cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x) для замены выражения:

13cos(2x) = 5

cos(2x) = 5/13

2x = arccos(5/13)

x = arccos(5/13)/2

2. Пусть cos(x) = (3sin(x) - √(9sin^2(x) - 4))/2

Аналогично первому случаю, получим:

cos(2x) = -5/13

2x = arccos(-5/13)

x = arccos(-5/13)/2

Итак, у нас есть два решения для данного уравнения:

x = arccos(5/13)/2 и x = arccos(-5/13)/2