Question

Докажите формулу для вычисления суммы углов выпуклого много угольник.

Answer 1

Сумма углов треугольника - 180 градусов.

Докажем, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180(n-2) градусам. Выберем одну из вершин и проведём из неё n-2 диагонали. Они разделят n-угольник на n-2 треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусам, сумма углов n-угольника равна сумме углов всех треугольников. Значит, сумма углов выпуклого n-угольника - 180(n-2) градусов, что и требовалось доказать.

Answer 2

Теорема (о сумме углов выпуклого многоугольника)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника                         равна 180º(n-2). (n — количество сторон многоугольника).

 (смотри верхний рисунок)

—  выпуклый n -угольник.  

Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.

Соединим точку O с вершинами многоугольника.

 (смотри нижний рисунок)

Получили n треугольников.

Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.  

То есть в данном случае у нас 6-угольник, имеем 6 треугольников, сумма углов которых 6*180 и минус 2*180 – сумма углов при вершине. Получается 180*(6 – 2) = 720 гр.

Так как сумма углов при вершине O составляет 360º, то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.

Answer 3

Для доказательства формулы для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника можно воспользоваться следующим рассуждением:

1. Представим выпуклый многоугольник с n сторонами. Обозначим его вершины числами от 1 до n в порядке обхода против часовой стрелки.

2. Разобьем многоугольник на n - 2 треугольника. Для этого соединим каждую вершину с двумя соседними вершинами, получая треугольник между каждой парой соседних сторон.

3. Заметим, что каждый треугольник имеет сумму углов равную 180 градусов. Это свойство треугольников, так как сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусов.

4. Так как многоугольник можно разбить на n - 2 треугольника, то сумма углов всех треугольников будет равна (n - 2) * 180 градусов.

5. Однако в процессе разбиения многоугольника на треугольники мы добавили n - 2 угла внутри многоугольника. То есть каждый угол внутри многоугольника был учтен дважды (по одному разу в каждом из двух треугольников, в которых он участвует).

6. Следовательно, сумма углов всех треугольников вместе с добавленными углами внутри многоугольника будет равна сумме углов выпуклого многоугольника.

7. Получаем формулу: сумма углов выпуклого многоугольника = (n - 2) * 180 градусов.

Таким образом, мы доказали формулу для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника, которая состоит из (n - 2) углов по 180 градусов каждый.