Question

1)(х+у)²>4xy Докажите неравинство 2) 2a \1+a²<1

Answer 1

 
  $(x+y)^2>4xy\\ x^2+y^2>2xy\\ (x-y)^2 \geq 0$ 
верно 
 
$\frac{2a}{1+a^2}0\\ a \neq -1$
 верно , так как квадрат всегда      положителен   

Answer 2

1. Чтобы доказать неравенство (х+у)² > 4xy, давайте разложим его на более простые части и применим алгебраические свойства.

(х+у)² = х² + 2ху + у²

Теперь мы хотим доказать, что это выражение больше 4xy:

х² + 2ху + у² > 4xy

Перенесем все члены в одну сторону:

х² - 4xy + 2ху + у² > 0

Теперь попробуем факторизовать левую часть:

(х² - 2ху + у²) - 2xy > 0

(х - у)² - 2xy > 0

Теперь мы видим, что выражение (х - у)² - 2xy представляет собой квадрат разности (х - у)², вычитаемый 2xy. Квадрат любого числа всегда положителен или равен нулю, поэтому (х - у)² всегда больше или равно нулю.

Таким образом, у нас есть:

(х - у)² - 2xy > 0

(х - у)² > 2xy

Таким образом, мы доказали, что (х+у)² > 4xy.

2. Чтобы доказать неравенство 2a/(1+a²) < 1, давайте рассмотрим его более подробно:

2a/(1+a²) < 1

Перемножим обе части неравенства на (1+a²):

2a < 1 + a²

Перенесем все члены в одну сторону:

a² - 2a + 1 > 0

Теперь мы видим, что это квадратное уравнение вида a² - 2a + 1 > 0. Мы можем попытаться его факторизовать:

(a - 1)² > 0

Так как квадрат любого числа всегда положителен или равен нулю, то (a - 1)² всегда больше или равно нулю.

Таким образом, мы доказали, что (a - 1)² > 0, что означает, что неравенство 2a/(1+a²) < 1 выполняется для любого значения a, отличного от 1.