Question

Найти первообразную 1)x^2+1 2) 4x^3+x-5

Answer 1

1)f=x²+1        F= (x³\3)+x+C
2) f=4x³+x-5      F= 4·x^4\4+x²|2-5x+C=x^4+x²\2-5x+C

Answer 2

Для первообразной функции $x^2 + 1$ мы можем использовать формулу для интегрирования степенных функций:

$$\int (x^n) dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C$$

где $n$ - любое число, отличное от -1, а $C$ - произвольная постоянная.

Применяя эту формулу к $x^2 + 1$, мы получим:

$$\int (x^2 + 1) dx = \frac{{x^3}}{3} + x + C$$

Таким образом, первообразная функции $x^2 + 1$ равна $\frac{{x^3}}{3} + x + C$.

Для второй функции $4x^3 + x - 5$ мы можем интегрировать каждый отдельный член по отдельности. Используя формулу для интегрирования степенных функций, получим:

$$\int 4x^3 dx = \frac{4}{4} \cdot \frac{{x^4}}{4} = x^4 + C_1$$

$$\int x dx = \frac{1}{2} \cdot x^2 = \frac{{x^2}}{2} + C_2$$

$$\int (-5) dx = -5x + C_3$$

Где $C_1$, $C_2$, $C_3$ - произвольные постоянные.

Таким образом, первообразная функции $4x^3 + x - 5$ равна $x^4 + \frac{{x^2}}{2} - 5x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.