Question

На доске записано 20 натуральных чисел. Известно, что сумма любых пяти из них не меньше 117. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех чисел, записанных на доске.

Answer 1

Заметим, что в условии не сказано, что все числа разные. Будем считать, что числа записаны в порядке возрастания:

$a_1\le a_2\le\ldots\le a_{20}.$ Условие, что сумма любых пяти из них не меньше 117, равносильно тому, что сумма наименьших пяти не меньше 117:

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\ge 117.$ Чтобы сделать сумму всех чисел как можно меньше, надо сделать $a_5$ как можно меньше и взять все числа с большими номерами равными $a_5$. Чтобы упростить рассуждение, приведу нужный набор чисел и докажу, что любой другой даст большую сумму:

$a_1=a_2=a_3=23,\ a_4=a_5=a_6=\ldots =a_{20}=24.$

Сумма первых пяти чисел равна 117, сумма всех равна 477. Сумма первых пяти тем самым минимально возможная, поэтому попытка сделать сумму всех чисел меньше приводит к тому, что $a_6$ должен стать меньше, чем 24, а тогда и пятый член окажется меньше 24, а тогда сумма первых пяти окажется не больше, чем $5\cdot 23=115$.

Ответ: 477

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти минимальное возможное значение суммы всех чисел, записанных на доске. Из условия задачи, сумма любых пяти чисел не может быть меньше 117.

Предположим, что наименьшие 5 чисел на доске дают сумму, равную 117. Тогда сумма всех остальных чисел на доске должна быть не меньше, чем сумма этих 5 чисел. Это означает, что сумма всех чисел на доске должна быть не меньше, чем 117.

Теперь предположим, что на доске есть число, которое меньше наименьшего из этих 5 чисел. Мы можем заменить это число на наименьшее из 5 чисел и всё равно получить сумму, равную 117. Таким образом, мы можем продолжать заменять числа на доске, пока не достигнем ситуации, когда все числа на доске больше или равны наименьшему из 5 чисел.

Итак, чтобы получить наименьшее возможное значение суммы всех чисел на доске, необходимо, чтобы все числа на доске были не меньше, чем наименьшее из 5 чисел, которое равно 117.

Таким образом, наименьшее возможное значение суммы всех чисел на доске равно: 117 + 117 + 117 + 117 + 117 = 585.

Ответ: 585.