Question

Помогите доказать, что число ( \sqrt{3}+1)^{10} можно представить в виде \sqrt{m+1024}+\sqrt{m}

Answer 1

Если представить  ввиде 
$\sqrt{m+1024}+\sqrt{m}\\ (\sqrt{3}+1)^{10}\\ \sqrt{m+1024}+\sqrt{m}=(\sqrt{3}+1)^{10}\\ \sqrt{m+1024}+\sqrt{m}=((\sqrt{3}+1)^2)^5\\ \sqrt{m+1024}+\sqrt{m}=(4+2\sqrt{3})^5\\ po\ binomu \ Newtona\\ (a+b)^5=a^5+5ab^4+10a^2*b^3+10a^3*b^2+5a^4*b+b^5\\ \sqrt{m+1024}+\sqrt{m}=4^5+5*4*(2\sqrt{3})^4+10*4^2*(2\sqrt{3})^3+10*4^3*(2\sqrt{3})^2+5*4^4* (2\sqrt{3})+(2\sqrt{3})^5\\ \\ summiraya \ polu4aem \ m=134188032$

То есть число  $(\sqrt{3}+1)^{10}$ , можно представить ввиде 
$\sqrt{134188032+1024}+\sqrt{134188032}$

Answer 2

Решим задачу, не находя числа m, исходя из условия получаем:
$> <img src=$
Так как у данного уравнения дискриминант положительный, ввиду того что, c<0, b>0,a>0, то заданное разложение возможно.
Что и требовалось доказать

Answer 3

Давайте начнем с раскрытия степени числа (\sqrt{3}+1)^{10} при помощи бинома Ньютона или метода разложения на биномиальные коэффициенты. После раскрытия степени получим:

(\sqrt{3}+1)^{10} = C(10,0)(\sqrt{3})^{10}(1)^0 + C(10,1)(\sqrt{3})^9(1)^1 + C(10,2)(\sqrt{3})^8(1)^2 + ... + C(10,10)(\sqrt{3})^0(1)^{10}

Мы знаем, что C(n,k) обозначает биномиальный коэффициент, который равен n! / (k!(n-k)!), где n! обозначает факториал числа n.

Давайте рассмотрим каждый член отдельно:

Первый член: C(10,0)(\sqrt{3})^{10}(1)^0 = (\sqrt{3})^{10} = 3^5 = 243.

Второй член: C(10,1)(\sqrt{3})^9(1)^1 = 10(\sqrt{3})^9 = 10 \cdot 3^{\frac{9}{2}}.

Третий член: C(10,2)(\sqrt{3})^8(1)^2 = 45(\sqrt{3})^8 = 45 \cdot 3^4.

Продолжая этот процесс для всех членов, мы получим:

(\sqrt{3}+1)^{10} = 243 + 10 \cdot 3^{\frac{9}{2}} + 45 \cdot 3^4 + ...

Обратите внимание, что все члены с \sqrt{3} в степени больше 1 являются квадратными корнями из некоторых выражений.

Теперь нам нужно найти такое значение m, чтобы (\sqrt{3}+1)^{10} имело вид \sqrt{m+1024} + \sqrt{m}.

Мы можем сравнить члены (\sqrt{3}+1)^{10} и \sqrt{m+1024} + \sqrt{m}:

243 + 10 \cdot 3^{\frac{9}{2}} + 45 \cdot 3^4 + ... = \sqrt{m+1024} + \sqrt{m}

Мы видим, что первый член 243 не может быть представлен в виде суммы двух квадратных корней. Поэтому мы можем игнорировать его.

Теперь рассмотрим второй член 10 \cdot 3^{\frac{9}{2}}. Если мы сравним это с \sqrt{m+1024} + \sqrt{m}, мы можем заметить, что это может быть представлено в виде:

10 \cdot 3^{\frac{9}{2}} = \sqrt{m+1024} + \sqrt{m}

Таким образом