Question

Даны координаты вершин треугольника А(2, 1, –2), В(1, 3, –1), С(4, –1, –2). Тогда внутренний угол треугольника при вершине A равен ...

Answer 1

Даны вершины треугольника А(2, 1, –2), В(1, 3, –1), С(4, –1, –2).

Находим векторы.

АВ = (-1; 2; 1), модуль АВ = √(1 + 4 + 1) = √6.

ВС = (3; -4; -1), модуль равен √(9 + 16 + 1) = √26.

АС = (2; -2; 0), модуль равен √8.

cos(AB-AC) = (-1*2 + 2*(-2) + 1*0)/(√6*√8) = -6/√48 = -6/(4√3) = -√3/2.

Угол при вершине А равен arc cos(-√3/2) = 150 градусов.

Answer 2

Для нахождения внутреннего угла треугольника при вершине A можно воспользоваться формулой косинусов.

Пусть A(2, 1, –2) - вершина треугольника, B(1, 3, –1) и C(4, –1, –2) - остальные вершины.

Вектор AB можно найти как разность координат вершин B и A: AB = B - A = (1 - 2, 3 - 1, -1 - (-2)) = (-1, 2, 1)

Аналогично, вектор AC можно найти как разность координат вершин C и A: AC = C - A = (4 - 2, -1 - 1, -2 - (-2)) = (2, -2, 0)

Для нахождения косинуса угла между векторами AB и AC, мы можем использовать следующую формулу: cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|),

где AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC, |AB| - длина вектора AB, |AC| - длина вектора AC.

Длина вектора AB: |AB| = √((-1)^2 + 2^2 + 1^2) = √(1 + 4 + 1) = √6

Длина вектора AC: |AC| = √(2^2 + (-2)^2 + 0^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

Скалярное произведение AB · AC: AB · AC = (-1 * 2) + (2 * -2) + (1 * 0) = -2 - 4 + 0 = -6

Теперь, подставив значения в формулу косинусов, мы можем найти косинус угла θ: cos(θ) = (-6) / (√6 * 2√2) = (-6) / (2√6) = -3 / √6

Для нахождения самого угла θ мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус): θ = arccos(-3 / √6)

Таким образом, внутренний угол треугольника при вершине A равен arccos(-3 / √6). Примечательно, что этот угол будет выражен в радианах, и его значение зависит от численного значения отношения -3 / √6.