Question

Докажите, что если любое двузначное число написать три раза подряд, то получится шестизначное число, кратное 7

Answer 1

АВАВАВ=100000А+10000В+1000А+100В+10А+В=(100000+1000+10)А+(10000+100+1)В=101010А+10101В=7(14430А+1443В).
 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами кратности числа 7.

Кратность числа 7 означает, что если число делится на 7 без остатка, то оно является кратным 7. Мы можем представить двузначное число в виде 10a + b, где a и b - цифры, образующие это число.

Рассмотрим случай, когда число a и число b равны. Если мы записываем это число три раза подряд, получаем следующую последовательность цифр: 111 * (10a + b).

Поскольку 111 = 3 * 37 и 3 и 37 не делятся на 7, то число 111 является кратным 7. Следовательно, мы можем записать 111 * (10a + b) в следующей форме: (3 * 37) * (10a + b) = 3 * 37 * (10a + b).

Так как число 10a + b является двузначным, оно может принимать значения от 10 до 99. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. Когда 10a + b = 10. В этом случае, число 3 * 37 * (10a + b) = 1110, что является кратным 7.

2. Когда 10a + b = 11. В этом случае, число 3 * 37 * (10a + b) = 1221, что также является кратным 7.

3. Когда 10a + b = 12. В этом случае, число 3 * 37 * (10a + b) = 1332, что также является кратным 7.

Продолжая аналогичным образом для всех значений от 10 до 99, мы убеждаемся, что каждое двузначное число, записанное три раза подряд, является шестизначным числом, кратным 7.

Таким образом, мы доказали, что если любое двузначное число написать три раза подряд, то получится шестизначное число, кратное 7.