Question

Тригонометрическое неравенство √2sin (п/4 +x/2 )≥ 1

Answer 1

√2sin (п/4 +x/2 )≥ 1
sin (п/4 +x/2 )≥ 1/√2
π/4+2πл≤π/4+x/2≤3π/4+2πk
2πk≤x/2≤π/2+2πk
4πk≤x≤π+4πk
x∈[ 4πk;π+4πk,k∈z]

Answer 2

Для решения данного тригонометрического неравенства, мы будем использовать следующие шаги:

1. Приведем неравенство к виду, удобному для работы. Заметим, что значение синуса п/4 равно 1/√2, поэтому мы можем переписать неравенство следующим образом: √2sin (п/4 +x/2) ≥ 1/√2

2. Избавимся от корня, возведя обе части неравенства в квадрат: 2sin²(п/4 +x/2) ≥ 1/2

3. Разложим синус суммы углов по формуле: 2(sin(п/4)cos(x/2) + cos(п/4)sin(x/2))² ≥ 1/2

4. Заменим значения синуса и косинуса п/4: 2((1/√2)cos(x/2) + (1/√2)sin(x/2))² ≥ 1/2

5. Упростим выражение: ((cos(x/2) + sin(x/2))/√2)² ≥ 1/4

6. Раскроем квадрат в левой части неравенства: (cos(x/2) + sin(x/2))²/2 ≥ 1/4

7. Умножим обе части неравенства на 2: (cos(x/2) + sin(x/2))² ≥ 1/2

8. Раскроем квадрат в левой части неравенства: cos²(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2) + sin²(x/2) ≥ 1/2

9. Используем тригонометрическую тождественную формулу sin²θ + cos²θ = 1: 1 + 2sin(x/2)cos(x/2) ≥ 1/2

10. Вычтем 1 из обеих частей неравенства: 2sin(x/2)cos(x/2) ≥ -1/2

11. Разделим обе части неравенства на 2: sin(x/2)cos(x/2) ≥ -1/4

Таким образом, мы получили тригонометрическое неравенство sin(x/2)cos(x/2) ≥ -1/4.