Question

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами , один из корней которого равен 1) -√13 2) √7 3) 3-√5

Answer 1

1) х1 = - √13;  Второй корень может быть равен  √13, потому что в квадратном уравнении произведение корней равно свободному члену. В этом случае свободный член будет рациональным , то есть равен - 13.

(х - √13)(х + √13) = 0

х² - 13 = 0  квадратное уравнение с рациональными коэффициентами

2) х1 = √7 Аналогично получим второй корень х2 = -7 и уравнение

х² - 7 = 0.

3) х1 = 3 - √5 . И в этом случае 2-й корень равен  х2 = 3 + √5

Тогда сумма корней равна 2-му коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, то есть b = - (3 - √5 + 3 + √5) = - 6

А произведение корней равно свободному члену

c = (3 - √5)(3 + √5) = 9 - 5 = 4

И уравнение имеет вид: х² - 6х + 4 = 0

Answer 2

Чтобы составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, воспользуемся свойствами корней уравнения. Если корень является решением уравнения, то его сопряжённое число (коньюгированное) также будет решением. Таким образом, для каждого данного корня, мы можем использовать его коньюгированное число в качестве второго корня.

1. Корень: -√13 Сопряженный корень: √13 (конъюгированное) Таким образом, у нас есть два корня: -√13 и √13.

2. Корень: √7 Сопряженный корень: -√7 (конъюгированное) Таким образом, у нас есть два корня: √7 и -√7.

3. Корень: 3-√5 Сопряженный корень: 3+√5 (конъюгированное) Таким образом, у нас есть два корня: 3-√5 и 3+√5.

Теперь, чтобы составить квадратное уравнение с этими корнями, мы можем использовать формулу (x - a)(x - b) = 0, где a и b - корни уравнения. Раскрывая скобки, мы получим квадратное уравнение.

1. Квадратное уравнение с корнями -√13 и √13: (x + √13)(x - √13) = 0 (x^2 - √13x + √13x - (√13)^2) = 0 (x^2 - 13) = 0

Ответ: x^2 - 13 = 0

2. Квадратное уравнение с корнями √7 и -√7: (x - √7)(x + √7) = 0 (x^2 + √7x - √7x - (√7)^2) = 0 (x^2 - 7) = 0

Ответ: x^2 - 7 = 0

3. Квадратное уравнение с корнями 3-√5 и 3+√5: (x - (3-√5))(x - (3+√5)) = 0 (x - 3 + √5)(x - 3 - √5) = 0 (x^2 - 3x + √5x - 3√5 - 3x + 9 - 3√5 + √5x - 3√5 + 5) = 0 (x^2 - 6x + 14) = 0

Ответ: x^2 - 6x + 14 = 0