Question

Доказать, что если x1 >=0, x2>=0, x3>=0, x4>=0, то их среднее арифметическое больше или равно корню четвёртой степени из их произведения

Answer 1

В общем виде это знаменитое неравенство Коши о том что среднее геометрическое не превосходит среднего арифментического для положительных чисел и равняется при равенстве чисел
(a₁+a₂+a₃+.....+aₓ)/x ≥ ˣ√ (a₁a₂a₃.....aₓ)
a₁ ...... aₓ ≥0
докажем сначала для 2-х
(a₁+a₂)/2 ≥ √a₁a₂
a₁+a₂≥ 2√a₁a₂
a₁+a₂ - 2√a₁a₂ ≥ 0
(√a₁ - √a₂) ≥ 0 квадрат всегда больше равен 0
докажем на основании этой теоремы что
(a₁+a₂+a₃+a₄)/4 ≥ ⁴√a₁a₂a₃a₄
теперь рассмотрим некие преобразования 
[ (a₁+a₂)/2 + (a₃+a₄)/2 ] / 2 ≥ √ ((a₁+a₂)/2) * ((a₃+a₄)/2)
(a₁+a₂+a₃+a₄)/4 ≥ √ ((√a₁a₂)* (√a₃a₄) = √√(a₁a₂a₃a₄)=⁴√(a₁a₂a₃a₄) чтд
-----------------------------------
можно доказать в общем для n переменных по методу математической индукции
вышеуказанный метод модно применять для степеней 2 для 2 4 8 16 итд членов

Answer 2

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 3

Давайте докажем данное утверждение.

Пусть x1, x2, x3 и x4 - неотрицательные числа.

Нам нужно доказать, что (x1 + x2 + x3 + x4)/4 >= ∛(x1 * x2 * x3 * x4).

Возведём обе части неравенства в четвёртую степень:

((x1 + x2 + x3 + x4)/4)^4 >= (∛(x1 * x2 * x3 * x4))^4

Поскольку все числа неотрицательные, то возведение в четвёртую степень и извлечение корня четвёртой степени сохраняют неравенство. Получим:

(x1 + x2 + x3 + x4)^4 >= (x1 * x2 * x3 * x4)^3

Раскроем левую часть неравенства, воспользовавшись биномом Ньютона:

(x1^4 + 4x1^3x2 + 6x1^2x2^2 + 4x1x2^3 + x2^4 + ...) >= (x1^3x2^3x3^3x4^3)

В этом раскрытии все слагаемые, кроме последнего, содержат произведение двух или более переменных. Так как все переменные неотрицательные, каждое слагаемое в раскрытии будет больше или равно произведения x1^3x2^3x3^3x4^3. Таким образом, мы можем заменить каждое слагаемое на это произведение и сохранить неравенство:

(x1^3x2^3x3^3x4^3 + x1^3x2^3x3^3x4^3 + x1^3x2^3x3^3x4^3 + x1^3x2^3x3^3x4^3 + x1^3x2^3x3^3x4^3 + ...) >= (x1^3x2^3x3^3x4^3)

Таким образом, мы получили:

6 * (x1^3x2^3x3^3x4^3) >= (x1^3x2^3x3^3x4^3)

Теперь делим обе части неравенства на (x1^3x2^3x3^3x4^3), которое является положительным числом:

6 >= 1

Так как это неравенство выполняется, мы доказали исходное утверждение:

(x1 + x2 + x3 + x4)/4 >= ∛(x1 * x2 * x3 * x4)

То есть, среднее арифметическое x1, x2, x3 и x4 больше или равно корню четвёртой степени