Question

7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y= -2\3x^3-3\2x^2-1\3 на отрезке [-1;1]

Answer 1

F(x)=-2/3x³-3/2x²-1/3
f'(x)=-6/3x²-6/2x=-2x²-3x
Приравниваем производную к 0:
-2х²-3х=0
х(-2х-3)=0
х1=0
-2х-3=0
-2х=3
х2=-3/2
Находим значения функции на концах отрезка:
f(-3/2)=-2/3*(-3/2)³-3/2*(-3/2)²-1/3=57/24-27/8-1/3=
=54/24-81/24-8/24=-35/24
f(0)=-1/3
f(-1)=2/3-3/2-1/3=4/6-9/6-2/6=-7/6
f(1)=-2/3-3/2-1/3=-4/6-9/6-2/6=-15/6
Ответ: f(min)=-15/6,  f(max)=-1/3

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y = -2/3x^3 - 3/2x^2 - 1/3 на отрезке [-1;1], необходимо проанализировать значения функции на концах отрезка и в его критических точках.

1. Найдем значения функции на концах отрезка: Подставим x = -1: y = -2/3(-1)^3 - 3/2(-1)^2 - 1/3 = -2/3 + 3/2 - 1/3 = -2/3 + 9/6 - 2/6 = -2/3 + 7/6 = -4/6 + 7/6 = 3/6 = 1/2

Подставим x = 1: y = -2/3(1)^3 - 3/2(1)^2 - 1/3 = -2/3 - 3/2 - 1/3 = -2/3 - 9/6 - 2/6 = -2/3 - 11/6 = -4/6 - 11/6 = -15/6 = -5/2

Таким образом, на концах отрезка [-1;1] функция принимает значения: Наименьшее значение: -5/2 Наибольшее значение: 1/2

2. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю.

Производная функции y = -2/3x^3 - 3/2x^2 - 1/3: y' = -2x^2 - 3x

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: -2x^2 - 3x = 0

Решим это уравнение: x(-2x - 3) = 0

Таким образом, x = 0 или x = -3/2.

Подставим эти значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

При x = 0: y = -2/3(0)^3 - 3/2(0)^2 - 1/3 = 0 - 0 - 1/3 = -1/3

При x = -3/2: y = -2/3(-3/2)^3 - 3/2(-3/2)^2 - 1/3 = -2/3(-27/8) - 3/2(9/4) - 1/3 = 9/4 - 27/8 - 1/3 = 18/8 - 27/8 - 8/24 = -9/8 - 8/24 = -27/24 - 8/24 = -35/24

Таким образом, критические точки дают следующие значения: При x = 0, y = -1/