Question

Решите систему уравнений 1 уравнение: x^2+y^2=2 2 уравнение: xy=1

Answer 1

умножим второе уравнение на 2 и добавим его к первому:

х^2+2ху+у^2=4

(х+у)^2=4

Возможны два случая:

1)х+у=2

ху=1

Из теоремы Виета корни этого уравнения совпадают с корнями t^2-2t+1=(t-1)^2, то есть равны 1 и 1.

2) х+у=-2

ху=1

Из теоремы Виета корни этого уравнения совпадают с корнями t^2+2t+1=(t+1)^2, то есть равны -1 и -1.

Ответ: (1;1) и (-1;-1)

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки.

Из второго уравнения выразим одну переменную через другую: xy = 1 y = 1/x

Подставим это выражение в первое уравнение: x^2 + (1/x)^2 = 2 x^2 + 1/x^2 = 2

Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от знаменателя: x^4 + 1 = 2x^2

Теперь перенесем все члены в левую часть уравнения: x^4 - 2x^2 + 1 = 0

Данное уравнение является квадратным относительно x^2. Решим его с помощью квадратного уравнения: (x^2 - 1)^2 = 0

Разложим полученное уравнение: (x^2 - 1)(x^2 - 1) = 0

Таким образом, имеем два уравнения:

1. x^2 - 1 = 0
2. x^2 - 1 = 0

Решим каждое из этих уравнений отдельно:

1. x^2 - 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0 x - 1 = 0 или x + 1 = 0 x = 1 или x = -1

2. x^2 - 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0 x - 1 = 0 или x + 1 = 0 x = 1 или x = -1

Таким образом, получили два решения для переменной x: x = 1 и x = -1.

Подставим эти значения x в одно из исходных уравнений, например, в уравнение xy = 1: Для x = 1: 1 * y = 1 y = 1

Для x = -1: -1 * y = 1 y = -1

Таким образом, имеем два решения для данной системы уравнений: (x, y) = (1, 1) и (x, y) = (-1, -1).