Question

найти сумму первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой равен 1/3, а отношение суммы последовательности, составленной из квадратов ее членов, к сумме этой последовательности равно 3/4

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Давайте найдем первый член геометрической прогрессии и ее знаменатель. Пусть первый член обозначается как a, а знаменатель как r.

Известно, что второй член геометрической прогрессии равен 1/3, то есть a*r = 1/3.

Также известно, что отношение суммы последовательности, составленной из квадратов ее членов, к сумме этой последовательности равно 3/4. Это означает, что:

(a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 + ...) / (a + ar + ar^2 + ...) = 3/4.

Заметим, что числитель и знаменатель в этом соотношении являются суммами бесконечных геометрических прогрессий с первым членом a^2 и знаменателем r^2.

Используя формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии, получаем:

(a^2) / (1 - r^2) = (3/4) * (a) / (1 - r).

Теперь мы получили два уравнения с двумя неизвестными (a и r):

1. a*r = 1/3,
2. (a^2) / (1 - r^2) = (3/4) * (a) / (1 - r).

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a и r.

Первым шагом умножим оба уравнения на (1 - r) и подставим (1 - r) = a*r из первого уравнения во второе уравнение:

a^2 = (3/4) * a * (a*r), a = (3/4) * r.

Теперь мы можем заменить a в первом уравнении:

(3/4) * r * r = 1/3, 3 * r^2 = 4 * (1/3), r^2 = 4/9, r = 2/3.

Теперь, найдя значение r, мы можем найти a из первого уравнения:

a * (2/3) = 1/3, a = (1/3) * (3/2), a = 1/2.

Таким образом, первый член a равен 1/2, а знаменатель r равен 2/3.

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу суммы конечной геометрической прогрессии:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где S - сумма первых n ч