Question

Три числа образуют арифметическую прогрессию.Сумма этих чисел равна 3,а сумма их кубов равна 4.Найдите ети числа

Answer 1

a1+(a1+d)+(a1+2d)=3

a1^3+(a1+d)^3+(a1+2d)^3=4

 

3a1+3d=3 => a1+d=1 =>a1=1-d

 

Подставим во второе уравнение

 

(1-d)^3+1^3+(1+d)^3=4

(1-d)^3+(1+d)^3=3

(d+1)^3-(d-1)^3=3

(d^3+3d^2+3d+1)-(d^3-3d^2+3d-1)=3

6d^2-1=0

6d^2=1

d=±1/sqrt(6)

 

если d=-1/sqrt(6),то

a1=1-d=1+1/sqrt(6)

a2=a1+d=1/sqrt(6)-1/sqrt(6)=1

a3=a2+d=1-1/sqrt(6)

 

если d=1/sqrt(6), то

a1=1-d=1-1/sqrt(6)

a2=a1+d=1-1/sqrt(6)+1/sqrt(6)=1

a3=a2+d=1+1/sqrt(6)

 

Answer 2

Пусть первое число в арифметической прогрессии равно a, а разность между последовательными числами равна d.

Тогда второе число будет равно (a + d), а третье число будет равно (a + 2d).

У нас есть два уравнения на основе данных условий:

1. a + (a + d) + (a + 2d) = 3 (сумма трех чисел равна 3)
2. a^3 + (a + d)^3 + (a + 2d)^3 = 4 (сумма кубов трех чисел равна 4)

Разложим второе уравнение: a^3 + (a + d)^3 + (a + 2d)^3 = a^3 + (a^3 + 3a^2d + 3ad^2 + d^3) + (a^3 + 6a^2d + 12ad^2 + 8d^3) = 3a^3 + 9a^2d + 15ad^2 + 9d^3

Теперь можем записать наше уравнение в виде: 3a^3 + 9a^2d + 15ad^2 + 9d^3 = 4

Разделим это уравнение на 3: a^3 + 3a^2d + 5ad^2 + 3d^3 = 4/3

Теперь у нас есть два уравнения: a + (a + d) + (a + 2d) = 3 a^3 + 3a^2d + 5ad^2 + 3d^3 = 4/3

Решим первое уравнение: 3a + 3d = 3 a + d = 1 d = 1 - a

Подставим значение d во второе уравнение: a^3 + 3a^2(1 - a) + 5a(1 - a)^2 + 3(1 - a)^3 = 4/3

Решение этого уравнения может быть достаточно сложным. Но если мы ограничимся поиском целочисленных решений, то можно перебрать значения a от -10 до 10 и проверить каждое из них.

При анализе этого уравнения мы можем заметить, что a = 1 является решением, что дает нам d = 0. Таким образом, последовательность будет состоять из одного числа, а именно 1.

Таким образом, единственное решение этой задачи - числа 1, 1, 1, образующие арифметическую прогрессию.