Question

Решить квадратное нерааенство методом интервалов 36-x^2/x^2+4x-32 >0

Answer 1

$\frac{36-x^2}{x^2+4x-32} \ \textgreater \ 0 \\ \\ D=16+4*32=144; \\ \\ x=(-4-12)/2=-8;x=(-4+12)/2=4 \\ \\ x^2+4x-32=(x+8)(x-4) \\ \\ \frac{(x-6)(x+6)}{(x+8)(x-4)} \ \textless \ 0 \\ \\ +++(-8)----(-6)+++(4)---(6)++++$

ответ x∈(-8;-6)U(4;6)

Answer 2

Чтобы решить данное квадратное неравенство методом интервалов, нам сначала нужно найти интервалы, на которых выражение $\frac{36-x^2}{x^2+4x-32}$ положительно.

1. Начнем с нахождения значений $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x^2 + 4x - 32 = 0$

   Факторизуем это квадратное уравнение: $(x - 4)(x + 8) = 0$

   Из этого получаем два значения: $x = 4$ и $x = -8$.

   Эти значения определяют вертикальные асимптоты функции.

2. Теперь рассмотрим знак выражения $\frac{36-x^2}{x^2+4x-32}$ на разных интервалах.

   a) Если $x < -8$, то знаменатель $x^2 + 4x - 32$ будет отрицательным, а числитель $36 - x^2$ положительным. В этом случае знак неравенства будет отрицательным.

   b) Если $-8 < x < 4$, то знаменатель $x^2 + 4x - 32$ будет положительным, а числитель $36 - x^2$ также будет положительным. В этом интервале знак неравенства будет положительным.

   c) Если $x > 4$, то знаменатель $x^2 + 4x - 32$ будет положительным, а числитель $36 - x^2$ отрицательным. В этом интервале знак неравенства будет отрицательным.

3. Итак, положительными интервалами являются: $-8 < x < 4$.

Таким образом, решением исходного квадратного неравенства $\frac{36-x^2}{x^2+4x-32} > 0$ является интервал $-8 < x < 4$.