Question

Найти расстояние от точки D (5;3;1) до плоскости, проходящей через три точки A (4;3;1) B (3;5;1)C (2;3;3)

Answer 1

Составим уравнение плоскости АВС , проходящей через три точки, а затем по формуле найдём расстояние от точки D до пл. АВС.

$A(4,3,1)\; ,\; \; B(3,5,1)\; ,\; \; C(2,3,3)\; ,\; \; D(5,3,1)\\\\\\1)\; \; \left|\begin{array}{ccc}x-4&y-3&z-1\\3-4&5-3&1-1\\2-4&3-3&3-1\end{array}\right| =\left|\begin{array}{ccc}x-4&y-3&z-1\\-1&2&0\\-2&0&2\end{array}\right|=\\\\\\=(x-4)\cdot 2-(y-3)\cdot (-2)+(z-1)\cdot 4=2x+2y+4z-18\; ;\\\\ABC:\; \; 2x+2y+4z-18=0\; ;\\\\\underline {ABC:\; \; x+y+2z-9=0}\; .\\\\\\2)\; \; d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|5+3+2-9|}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{1}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{6}$

Answer 2

Для нахождения расстояния от точки D до плоскости, проходящей через три точки A, B и C, можно воспользоваться формулой расстояния от точки до плоскости.

1. Найдите вектор нормали плоскости. Для этого возьмите два вектора, образованных из разности координат точек A, B и A, C: Вектор AB = B - A = (3-4, 5-3, 1-1) = (-1, 2, 0) Вектор AC = C - A = (2-4, 3-3, 3-1) = (-2, 0, 2)

2. Вычислите векторное произведение векторов AB и AC, чтобы найти вектор нормали плоскости: Вектор нормали плоскости N = AB x AC = (-1, 2, 0) x (-2, 0, 2)

   Для вычисления векторного произведения можно использовать следующую формулу: N = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1) N = (-12 - 20, 0*(-1) - 2*(-2), (-1)0 - 22) N = (-2, 4, -4)

   Таким образом, вектор нормали плоскости равен N = (-2, 4, -4).

3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C. Для этого используйте уравнение плоскости в общем виде: Ax + By + Cz + D = 0

   Подставьте координаты одной из точек, например, A(4, 3, 1), и найдите D: 4A + 3B + C + D = 0 D = -4A - 3B - C

   Подставьте координаты вектора нормали плоскости, N = (-2, 4, -4), в уравнение плоскости и найдите D: -24 + 43 + (-4)*1 + D = 0 -8 + 12 - 4 + D = 0 D = 0

   Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C, имеет вид: -2x + 4y - 4z = 0

4. Теперь найдите расстояние от точки D до плоскости, используя формулу: Расстояние = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

   Подставьте координаты точки D(5, 3, 1) и урав