Question

2(x^2+x+1)^2−7(x−1)^2=13(x^3−1) Как такое уравнение решать, подробнее пожалуйста

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)\\\\2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2-13(x-1)(x^2+x+1)=0\\\\u=x-1\; ,\; \; v=x^2+x+1\ \textgreater \ 0,\; t.k.\; D=1-4=-3\ \textless \ 0.\\\\2v^2-7u^2-13uv=0\; |:v^2\; (v\ \textgreater \ 0\; ,\; v^2\ \textgreater \ 0)\\\\2-7\cdot (\frac{u}{v})^2-13\cdot \frac{u}{v}=0 \\\\7\cdot ( \frac{u}{v})^2+13\cdot \frac{u}{v} -2=0\\\\D=13^2+4\cdot 2\cdot 7=225\\\\( \frac{x}{y} )_1= \frac{-13-15}{14} =-2\; ,\; \; (\frac{u}{v} )_2= \frac{-13+15}{14} =\frac{1}{7}\\\\ 1)\; \; \; \frac{x-1}{x^2+x+1} = -2\\\\x-1=-2x^2-2x-2\\\\2x^2+3x+1=0\\\\D=9-8=1$

$x_1=-1\; ;\; \; x_2=-\frac{1}{2}\\\\2)\; \; \; \frac{x-1}{x^2+x+1}= \frac{1}{7} } \\\\7x-7=x^2+x+1\\\\x^2-6x+8=0\\\\x_1=2,\; ;\; \; x_2=4\; \; (teorema\; Vieta)\\\\Otvet:\; \; x=-1\; ;\; -\frac{1}{2}\; ;\; 2\; ;\; 4\; .$

  $P.S.\; \; x^2+x+1\ \textgreater \ 0$  при любых значениях переменной х, так как дискриминант D=-3<0. Значит, можно делить уравнение на положительное выражение без ограничений. 

Answer 3

Давайте разберемся, как решить данное уравнение поэтапно.

1. Раскроем скобки, применяя правило квадрата суммы и квадрата разности: 2(x^2+x+1)^2 − 7(x−1)^2 = 13(x^3−1)

   Раскрытие квадрата суммы: 2(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1) − 7(x^2 - 2x + 1) = 13(x^3 - 1)

   Раскрытие квадрата разности: 2(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1) − 7(x^2 - 2x + 1) = 13(x^3 - 1)

   Упростим каждую сторону уравнения: 2x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 2 − 7x^2 + 14x - 7 = 13x^3 - 13

2. Соберем все члены уравнения в одной стороне: 2x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 2 − 7x^2 + 14x - 7 - 13x^3 + 13 = 0

   Перенесем все члены влево: 2x^4 + 4x^3 - 13x^3 + 6x^2 - 7x^2 + 4x + 14x - 13 + 2 - 7 = 0

   Сгруппируем одночлены: 2x^4 - 9x^3 - x^2 + 18x - 18 = 0

3. Попробуем применить различные методы решения этого уравнения. Один из возможных способов - это использование рациональных корней.

   Применим рациональный корень теоремы: Пусть p/q будет рациональным корнем многочлена a_n*x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0, где все коэффициенты a_i - целые числа, а p и q - взаимно простые числа (т.е. они не имеют общих делителей, кроме 1).

   В нашем случае, коэффициенты многочлена 2x^4 - 9x^3 - x^2 + 18x - 18 - это целые числа. Поэтому, если рациональный корень существует, он должен быть вида p/q, где p - делитель свободного члена (18), а q - делитель старшего коэффициента (2).

   Поделим 18