Question

Количество целых решений неравенства 2^(x+6)+log_основ_0,5_от (6-x)>13 равно ?

Answer 1

Функция в левой части неравенства возрастает как сумма возрастающих функций.

Легко проверить, что при x = -2 достигается равенство левой и правой части: 
2^4 + log(0.5, 6 + 2) = 16 - 3 = 13

Поэтому решение неравенства - все значения, попадающие в область определения и большие -2.

ООФ: 6 - x > 0
x < 6

Решение неравенства: (-2, 6).

Целые решения: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 - всего 7 решений.

Answer 2

Давайте решим неравенство пошагово. Вначале перепишем его в эквивалентной форме, используя определение логарифма с основанием 0,5:

2^(x+6) + log_0.5(6-x) > 13

Теперь приведем выражение к общему основанию, чтобы убрать логарифм:

2^(x+6) + (log_2(6-x) / log_2(0.5)) > 13

Так как log_2(0.5) = -1 (логарифм с основанием 2 от 0,5 равен -1), получим:

2^(x+6) - log_2(6-x) > 13

Для упрощения обозначим y = x + 6:

2^y - log_2(6 - (y - 6)) > 13

2^y - log_2(12 - y) > 13

Теперь мы можем рассмотреть два случая: когда выражение внутри логарифма положительное (12 - y > 0) и когда оно отрицательное (12 - y < 0).

1. При 12 - y > 0 (или y < 12) логарифм определен и можно избавиться от него, переписав неравенство в эквивалентной форме:

2^y > 13 + log_2(12 - y)

2^y > 13 + log_2(12 - y)

2^y > 13 + log_2(12) - log_2(y - 6)

2^y > 13 + log_2(12) - log_2(y - 6)

2^y > 13 + log_2(12) - (log_2(y) - log_2(6))

2^y > 13 + log_2(12) - log_2(y) + log_2(6)

2^y > 13 - log_2(y) + (log_2(12) + log_2(6))

2^y - log_2(y) > 13 + (log_2(12) + log_2(6))

Теперь неравенство сводится к задаче нахождения количества решений для функции 2^y - log_2(y) > C, где C = 13 + (log_2(12) + log_2(6)). Для нахождения количества решений потребуется использовать численные методы или графический метод.

2. При 12 - y < 0 (или y > 12) логарифм неопределен и неравенство не имеет решений в этом диапазоне.

Таким образом, для определения количества целых решений неравенства 2^(x+6) + log_0.5(6-x) > 13 необходимо решить уравнение 2