Question

Докажите что 6^n-1 делится нацело на 5 при любом натуральном n

Answer 1

При возведении 6 в любую натуральную степень число единиц всегда будет =6.

А  6ⁿ-1 всегда будет заканчиваться пятеркой, а это признак делимости на 5.

Answer 2

Давайте воспользуемся методом математической индукции, чтобы доказать, что $6^n - 1$ делится нацело на 5 для любого натурального числа $n$.

Шаг базы: Проверим, что утверждение верно для $n = 1$. Подставим $n = 1$ в выражение: $6^1 - 1 = 6 - 1 = 5$. Мы видим, что $6^1 - 1$ является кратным числу 5.

Шаг предположения: Предположим, что утверждение верно для некоторого фиксированного, но произвольного значения $k$, то есть $6^k - 1$ делится нацело на 5.

Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно и для $n = k + 1$. Рассмотрим следующее выражение: $6^{k+1} - 1$. Мы можем записать $6^{k+1}$ как $6^k \cdot 6^1$.

Теперь вспомним наше предположение, что $6^k - 1$ делится нацело на 5. Значит, мы можем записать $6^k - 1$ в виде $5m$, где $m$ - целое число.

Теперь возвращаемся к выражению $6^{k+1} - 1$. Подставим $6^k \cdot 6^1$ вместо $6^{k+1}$: $6^{k+1} - 1 = (6^k \cdot 6^1) - 1 = 6^k \cdot 6 - 1 = 6 \cdot (6^k) - 1$.

Мы видим, что $6 \cdot (6^k) - 1$ представляет собой произведение двух целых чисел (6 и $6^k$), у которых первый множитель делится нацело на 5 (6 делится нацело на 5), а значит, и весь произведение делится нацело на 5.

Таким образом, мы доказали, что если $6^k - 1$ делится нацело на 5, то и $6^{k+1} - 1$ делится нацело на 5.

Исходя из принципа математической индукции, мы можем заключить, что $6^n - 1$ делится нацело на 5 для любого натурального числа $n$.