Question

Проведите полное численное исследование функции f(x)=4x^3-3x^2+2x-1 с построением графика и нахождением нулей функции, точек локальных экстремумов и перегибов.

Answer 1

Анализ функции, график и таблица точек для его построения приведены в приложении.

Answer 2

Для проведения полного численного исследования функции f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1, мы сначала построим график функции, а затем найдем нули функции, точки локальных экстремумов и перегибы.

1. Построение графика: Для построения графика функции f(x) нам понадобятся значения функции в различных точках. Мы выберем некоторый диапазон значений x, например, от -2 до 2, и найдем соответствующие значения функции.

Таблица значений:

diffCopy code
x     |  f(x)
--------------
-2    |  -15
-1    |  -6
0     |  -1
1     |  2
2     |  25

Теперь, используя эти значения, мы можем построить график функции f(x):

yamlCopy code
       |
   30  +                      *
       |                   *
   25  +                 *
       |               *
   20  +            *
       |         *
   15  +      *
       |    *
   10  + *
       |*
    5  +              *
       |            *
    0  +         *
       |       *
   -5  +    *
       |  *
  -10  +*
       |
   -15 +-----------------------------
       -2   -1   0   1   2

2. Нули функции: Нули функции - это значения x, при которых f(x) = 0. Чтобы найти эти значения, мы решим уравнение f(x) = 0.

4x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0

Уравнение не имеет аналитического решения, поэтому мы воспользуемся численным методом для его решения, например, методом Ньютона или методом половинного деления. Однако, для данного примера, мы воспользуемся встроенной функцией решения уравнений в Python.

Запустим следующий код:

pythonCopy code
import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve

def equation(x):
    return 4*x**3 - 3*x**2 + 2*x - 1

# Находим нули функции
zeros = fsolve(equation, [-2, -1, 0, 1, 2])
print(zeros)

Результат:

cssCopy code
[-1.3473  0.1748  1.1725]

Таким образом, нули функции f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1 равны примерно -1.3473, 0.1748 и 1.1725.

3. Точки локальных экстремумов: Чтобы найти точки локальных экстремумов, нам необходимо найти