Question

Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3 и 6 и 9 сумма этих остатков оказалась равна 15 Найдите остаток от деления задуманного числа на 18

Answer 1

Остаток при делении числа на 3 не превосходит 2, при делении на 6 – не превосходит 5, при делении на 9 – не превосходит 8. Так как сумма этих остатков равна 15 = 2 + 5 + 8, они равны соответственно 2, 5 и 8. Дальше можно рассуждать по-разному.
1) Так как задуманное число даёт остаток 8 при делении на 9, то при делении на 18 оно может давать остаток 8 или остаток 17. В первом случае остаток при делении на 6 равен 2, что противоречит условию. Во втором случае условие задачи выполняется.
2) Задуманное число, увеличенное на 1, делится на 3, 6 и 9, следовательно, оно делится и на 18. Следовательно, задуманное Машей число при делении на 18 даёт остаток 17.

Ответ
17.

Answer 2

Если сумма остатков равна 15, то сами остатки равны 2, 5 и 8.

N = 3a+2 = 6b+5 = 9c+8.

Если прибавить 1, то получится число

N+1 = 3a+3 = 3(a+1) = 6b+6 = 6(b+1) = 9c+9 = 9(c+1)

То есть, оно делится, на 3, 6 и 9, а значит, и на 18.

Тогда предыдущее число N делится на 18 с остатком 17.

Answer 3

Пусть задуманное число обозначается как N. Мы знаем, что остаток от деления N на 3, 6 и 9 в сумме равен 15. Это можно записать в виде уравнения:

(N mod 3) + (N mod 6) + (N mod 9) = 15

Остаток от деления N на 3 можно представить как (N mod 3) или (N - 3⌊N/3⌋). Аналогично, остаток от деления N на 6 можно представить как (N mod 6) или (N - 6⌊N/6⌋), и остаток от деления N на 9 как (N mod 9) или (N - 9⌊N/9⌋).

Заменим эти выражения в уравнении:

(N - 3⌊N/3⌋) + (N - 6⌊N/6⌋) + (N - 9⌊N/9⌋) = 15

Упростим:

3N - 3⌊N/3⌋ + 6N - 6⌊N/6⌋ + 9N - 9⌊N/9⌋ = 15 18N - 3⌊N/3⌋ - 6⌊N/6⌋ - 9⌊N/9⌋ = 15 18N - 3⌊N/3⌋ - 2⌊N/3⌋ - ⌊N/3⌋ = 15 18N - 6⌊N/3⌋ - ⌊N/3⌋ = 15 18N - 7⌊N/3⌋ = 15

Теперь нам нужно найти остаток от деления N на 18. Рассмотрим несколько случаев:

1. Если ⌊N/3⌋ = 0, тогда N = 0 или 1. Ни одно из этих чисел не удовлетворяет уравнению 18N - 7⌊N/3⌋ = 15.

2. Если ⌊N/3⌋ = 1, тогда N = 3 или 4. Подставим значения и проверим:

   • При N = 3: 18N - 7⌊N/3⌋ = 18 * 3 - 7 * 1 = 54 - 7 = 47 (не равно 15).
   • При N = 4: 18N - 7⌊N/3⌋ = 18 * 4 - 7 * 1 = 72 - 7 = 65 (не равно 15).

3. Если ⌊N/3⌋ = 2, тогда N = 6 или 7. Подставим значения и проверим:

   • При N = 6: 18N - 7⌊N/3⌋ = 18 * 6