Question

Докажите, что для любого натурального n значение делится на 10 3^n+2 - 2^n+2 + 3^n - 2^n

Answer 1

3^n+2 - 2^n+2 + 3^n - 2^n=3^n+2 + 3^n- 2^n+2  - 2^n=3^n(3^2+1)-2^(n-1)(2^3+2)=10*3^n-10*2^(n-1)
уменьшаемое и вычитаемое  которые делятся на 10 значит и разность делится на 10

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг базы: При n = 1 утверждение принимает следующий вид: 3^3 + 2 - 2^3 + 2 + 3^1 - 2^1 = 29, что является кратным 10.

Предположение индукции: Предположим, что для некоторого k утверждение верно, т.е. 3^k+2 - 2^k+2 + 3^k - 2^k кратно 10.

Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно для n = k + 1. 3^(k+1) + 2 - 2^(k+1) + 2 + 3^k - 2^k = 3 * 3^k + 2 - 2 * 2^k + 2 + 3^k - 2^k = 3 * (3^k + 2^k) + (3^k - 2^k) + 2

Заметим, что первое слагаемое 3 * (3^k + 2^k) является кратным 10, по предположению индукции. Второе слагаемое (3^k - 2^k) также кратно 10, так как сумма или разность двух чисел, кратных 10, также будет кратна 10. И последнее слагаемое 2 также кратно 10.

Таким образом, сумма трех слагаемых кратна 10 для n = k + 1.

Так как шаг базы выполнен и предположение индукции верно, мы можем сделать вывод, что для любого натурального n значение 3^n+2 - 2^n+2 + 3^n - 2^n кратно 10.