Question

Найдите пятый член и знаменатель геометрической прогрессии положительными членами если b4=9 b6=1/81

Answer 1

$b_4=b_1*q^3=9$
$b_6=b_1*q^5= \frac{1}{81}$
$\frac{b_6}{b_4} =q^2= \frac{1}{729}$
$q= \sqrt{\frac{1}{729}} =\frac{1}{27}$

$b_4=b_1*(\frac{1}{27})^3=9$
$b_1= \frac{9}{(\frac{1}{27})^3} =9*19683=177147$

$b_5=b_1*q^4=177147*(\frac{1}{27})^4= \frac{177147}{27^4}= \frac{177147}{531441}= \frac{1}{3}$

Answer 2

Дано, что $b_4 = 9$ и $b_6 = \frac{1}{81}$ являются членами геометрической прогрессии.

Формула общего члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)}$

где $b_n$ - n-й член прогрессии, $b_1$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии.

Мы знаем, что $b_4 = 9$, поэтому: $b_4 = b_1 \cdot r^{(4-1)} = b_1 \cdot r^3 = 9$

Аналогично, мы знаем, что $b_6 = \frac{1}{81}$, поэтому: $b_6 = b_1 \cdot r^{(6-1)} = b_1 \cdot r^5 = \frac{1}{81}$

Теперь, разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от $b_1$: $\frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1 \cdot r^5}{b_1 \cdot r^3} = \frac{r^5}{r^3} = \frac{1}{81} \div 9$

Упростим выражение: $r^2 = \frac{1}{81} \div 9 = \frac{1}{81 \cdot 9} = \frac{1}{729}$

Теперь найдем пятый член $b_5$: $b_5 = b_1 \cdot r^{(5-1)} = b_1 \cdot r^4$

Используя полученное значение $r^2 = \frac{1}{729}$, найдем $r^4$: $(r^2)^2 = \left(\frac{1}{729}\right)^2 = \frac{1}{729^2} = \frac{1}{531441}$

Таким образом, $b_5 = b_1 \cdot r^4 = b_1 \cdot \frac{1}{531441}$.

Мы не можем определить значения $b_1$ и $r$ по отдельности без дополнительной информации. Но теперь вы знаете формулу для пятого члена $b_5$ и можете вычислить его, если получите значения $b_1$ или $r$.