Question

1) Вычислить интеграл, раскладывая функцию на простейшие дроби: 5x^2 dx/(x+1)(4-x)(3x+1) 2) вычислить определенные интегралы: а) интеграл от 0 до 2 (2x+3)dx/x-3 б) интеграл от 0 до 1 xe^(-x) dx

Answer 1

Решение приложено к снимку:

Answer 2

1. Для вычисления интеграла первого выражения нам нужно раскладывать функцию на простейшие дроби. Для этого выполним следующие шаги:

Разложим знаменатель на множители: (x+1)(4-x)(3x+1)

Раскладываем на простейшие дроби: A/(x+1) + B/(4-x) + C/(3x+1)

Найдем значения коэффициентов A, B и C: 5x^2 = A(4-x)(3x+1) + B(x+1)(3x+1) + C(x+1)(4-x)

5x^2 = A(12x - 3x^2 + 4 - x) + B(3x^2 + 4x + 3x + 3) + C(4x + 4 - x^2 - 4x)

5x^2 = (9A - A)x^2 + (12A + 3B - B - C)x + (4A + 3B + 4C + 4)

Сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях x и получаем систему уравнений:

9A - A = 5 -> 8A = 5 -> A = 5/8 12A + 3B - B - C = 0 -> 11A + 2B - C = 0 -> 11(5/8) + 2B - C = 0 -> 55/8 + 2B - C = 0 4A + 3B + 4C + 4 = 0 -> 4(5/8) + 3B + 4C + 4 = 0 -> 20/8 + 3B + 4C + 4 = 0 -> 5/2 + 3B + 4C + 4 = 0

Теперь решаем систему уравнений для нахождения коэффициентов B и C:

55/8 + 2B - C = 0 -> 2B - C = -55/8 5/2 + 3B + 4C + 4 = 0 -> 3B + 4C = -5/2 - 4 = -13/2

Мы получили систему уравнений: 2B - C = -55/8 3B + 4C = -13/2

Решаем эту систему и находим значения B и C.

Умножаем оба уравнения системы на 8 и 2 соответственно, чтобы избавиться от дробей: 16B - 8C = -55 6B + 8C = -26

Складываем оба уравнения: 22B = -81

B = -81/22

Подставляем значение B в одно из уравнений системы и находим C: 6(-81/22) + 8C = -26

-486/22 + 8C = -26

8C = -26 + 486/22