Question

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (и минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T0 + at + bt2, где T0 = 1150 K, a = 115 K/мин, b = -0,5 K/мин^2. Известно, что при температуре нагревателя свыше 5650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

Answer 1

Тупо в формулу подставляем известные значения:
T(t) = T0 + at + bt²
5650 = 1150 +115t - 0,5t²
0,5t² - 115t + 4500 = 0 | *2
t² - 230t + 9000 = 0
t = 115 +-√ (13225 - 9000) = 115 +- √ 4225 = 115 +-65
t₁ = 180
t₂ = 50

Answer 2

Для определения времени, через которое нужно отключить прибор, мы должны найти момент времени, когда температура достигнет или превысит 5650 Кельвинов. Для этого мы можем приравнять выражение для T(t) к 5650 и решить полученное квадратное уравнение.

T(t) = T0 + at + bt^2 5650 = 1150 + 115t - 0.5t^2

После приведения уравнения квадратного члена к общему знаменателю, мы получим:

0.5t^2 + 115t - 4500 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = (115^2) - 4(0.5)(-4500) D = 13225 + 9000 D = 22225

Так как дискриминант D положительный, у нас есть два действительных корня. Формула для нахождения корней:

t = (-b ± √D) / (2a) t = (-115 ± √22225) / (2(0.5))

t = (-115 ± 149) / 1 t = -115 + 149 или t = -115 - 149 t = 34 или t = -264

Так как время должно быть положительным, мы отбрасываем отрицательное значение t = -264. Таким образом, максимальное время работы прибора составляет 34 минуты после начала работы, когда его следует отключить, чтобы предотвратить повреждение от перегрева.