Question

Решить предел: lim→0 (sin^2*5x)/(3x^2)

Answer 1

Если я правильно понял ваше условие

$\lim_{x \to 0} \frac{sin^2(5x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{25x^2}{3x^2} = \frac{25}{3}$

(использован тот факт, что sinx ~ x при x -> 0)

Answer 2

Для решения этого предела, мы можем воспользоваться несколькими свойствами тригонометрии и арифметическими операциями с пределами. Давайте решим его по шагам.

1. Начнем с замены переменной. Положим u = 5x. Тогда, когда x стремится к 0, u также будет стремиться к 0. Предел примет вид: lim(u→0) (sin^2 u)/(3(u/5)^2)

2. Воспользуемся формулой двойного угла для синуса: sin^2 u = (1 - cos(2u))/2. Теперь предел можно записать как: lim(u→0) ((1 - cos(2u))/2) / (3(u/5)^2)

3. Разложим cos(2u) по формуле разности: cos(2u) = cos^2 u - sin^2 u. Тогда предел можно записать как: lim(u→0) ((1 - (cos^2 u - sin^2 u))/2) / (3(u/5)^2)

4. Вынесем общий множитель из числителя: lim(u→0) ((1 - cos^2 u + sin^2 u)/2) / (3(u/5)^2)

5. Заметим, что sin^2 u + cos^2 u = 1. Подставим это в предел: lim(u→0) ((1 - (1 - sin^2 u))/2) / (3(u/5)^2)

6. Упростим выражение: lim(u→0) ((sin^2 u)/2) / (3(u/5)^2)

7. Теперь мы можем упростить этот предел, упрощая числитель и знаменатель отдельно: lim(u→0) (1/2) * (sin^2 u) / ((u/5)^2)

   Теперь заметим, что (u/5)^2 = u^2 / 25. Мы можем записать предел как: (1/2) * lim(u→0) (sin^2 u) / (u^2 / 25)

8. Для дальнейшего упрощения, мы можем использовать известный предел: lim(u→0) (sin u)/u = 1.

   Тогда предел может быть записан как: (1/2) * lim(u→0) (sin u / u)^2 * 25

9. Воспользуемся этим пределом, чтобы упростить: (1/2) * 1^2 * 25 = 25/2

Таким образом, предел lim(x→0) (sin^2 5x)/(3x^2) равен 25/2.