Question

Решите систему уравнений методом замены переменной: 3(x - y)в квадрате + 2(x +2y) в квадрате = 52(x + 2y) - x + y = 1

Answer 1

Смотри фото решение на листе

Answer 2

Для решения данной системы уравнений методом замены переменной, мы начнём с введения новой переменной. Обозначим $u = x - y$ и $v = x + 2y$. Тогда мы можем переписать систему уравнений в терминах новых переменных:

$$\begin{align*} 3u^2 + 2v^2 &= 52v \\ u + v &= 1 \end{align*}$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $u$ и $v$. Мы можем решить её, используя эти уравнения.

Сначала решим второе уравнение относительно $u$:

$u = 1 - v$

Подставим это значение в первое уравнение:

$3(1-v)^2 + 2v^2 = 52v$

Раскроем квадраты и приведем подобные члены:

$3(1 - 2v + v^2) + 2v^2 = 52v$ $3 - 6v + 3v^2 + 2v^2 = 52v$ $5v^2 - 58v + 3 = 0$

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно переменной $v$. Решим его, используя квадратное уравнение:

$v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 5$, $b = -58$ и $c = 3$.

Подставим значения и рассчитаем $v$:

$v = \frac{-(-58) \pm \sqrt{(-58)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5}$ $v = \frac{58 \pm \sqrt{3364 - 60}}{10}$ $v = \frac{58 \pm \sqrt{3304}}{10}$ $v = \frac{58 \pm 2\sqrt{826}}{10}$ $v = \frac{29 \pm \sqrt{826}}{5}$

Таким образом, мы получили два возможных значения для $v$:

$v_1 = \frac{29 + \sqrt{826}}{5}$ $v_2 = \frac{29 - \sqrt{826}}{5}$

Теперь найдем соответствующие значения для $u$ с использованием $u = 1 - v$:

$u_1 = 1 - v_1$ $u_2 = 1 - v_2$

Таким образом, у нас есть две пары значений $(u_1, v_1)$ и $(u_2, v_2)$, которые являются решениями исходной системы уравнений.

Надеюсь, эта информация будет полезной для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы