Question

Докажите что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацедо на 4

Answer 1

(2*n-1)+(2*n+1)=4*n - это число при любом целом n -четное. (2*n-1) - предыдущее нечетное, (2*n+1) последующее нечетное

Answer 2

Давайте докажем это утверждение по индукции.

Предположение: Пусть n - нечетное натуральное число. Тогда сумма кубов двух последовательных нечетных чисел (2n-1)^3 + (2n+1)^3 делится нацело на 4.

1. База индукции: При n = 1: (21-1)^3 + (21+1)^3 = 1^3 + 3^3 = 1 + 27 = 28, что делится нацело на 4.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого k, где k - нечетное натуральное число, сумма кубов двух последовательных нечетных чисел (2k-1)^3 + (2k+1)^3 делится нацело на 4.

3. Индукционный переход: Докажем, что утверждение выполняется для (k+1).

   Рассмотрим сумму кубов двух последовательных нечетных чисел: (2(k+1)-1)^3 + (2(k+1)+1)^3 = (2k+1)^3 + (2k+3)^3.

   Разложим каждое слагаемое на множители: (2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1, (2k+3)^3 = 8k^3 + 36k^2 + 54k + 27.

   Теперь сложим эти два выражения: (2k+1)^3 + (2k+3)^3 = 16k^3 + 48k^2 + 60k + 28.

   Заметим, что каждый из членов (16k^3, 48k^2, 60k) делится на 4 без остатка, так как каждый из них содержит множитель 4. Остаток от деления 28 на 4 также равен 0.

   Следовательно, сумма кубов двух последовательных нечетных чисел (2(k+1)-1)^3 + (2(k+1)+1)^3 также делится нацело на 4.

Таким образом, утверждение доказано по индукции, и сумма кубов двух последовательных нечетных натуральных чисел всегда делится нацело на 4.