Question

Упростить: cos a + ctg a / ctg a - sin a - 1 sin^2 a + cos (п/3 - а) * cos (п/3+а)

Answer 1

$cosa + \frac{cta}{cta} - sina - 1 = cosa + 1 - sina - 1 = cosa - sina$

sin²a + cos( $\frac{ \pi }{3}$+a)*cos( $\frac{ \pi }{3}$-a) = sin²a + 1/2 * (cos( $\frac{ \pi }{3}$+a+ $\frac{ \pi }{3}$-a) + cos( $\frac{ \pi }{3}$+a- $\frac{ \pi }{3}$ +a)) = sin²a + 1/2 * (cos $\frac{2 \pi }{3}$  + cos2a) =  $\frac{2sin^2a+cos \frac{2 \pi }{3} + 1 - 2sin^2a }{2} = \frac{cos \frac{2\pi }{3} + 1}{2} = cos^2 \frac{ \pi}{3} = \frac{1}{4}$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, разберемся по частям.

1. Рассмотрим первую часть выражения: cos(a) + ctg(a).

   • Заметим, что ctg(a) = 1/tan(a).
   • Используем формулу тригонометрии: cos(a) + 1/tan(a) = cos(a) + cos(a)/sin(a).
   • Суммируем дроби: (cos(a)*sin(a) + cos(a))/(sin(a)).
   • Факторизуем числитель: cos(a) * (sin(a) + 1)/(sin(a)).
   • Поскольку sin(a) + 1 = 1 + sin(a), получаем: cos(a) * (1 + sin(a))/(sin(a)).
   • Используем тождество sin(a) = 1 - cos^2(a): cos(a) * (1 + 1 - cos^2(a))/(1 - cos^2(a)).
   • Сокращаем (1 - cos^2(a)) и упрощаем: cos(a) * (2 - cos^2(a))/(sin^2(a)).

2. Рассмотрим вторую часть выражения: ctg(a) - sin(a) - 1.

   • Мы уже знаем, что ctg(a) = 1/tan(a).
   • Подставляем и упрощаем: 1/tan(a) - sin(a) - 1.
   • Приводим к общему знаменателю: (1 - sin(a) * tan(a))/tan(a).
   • Используем тождество tan(a) = sin(a)/cos(a): (1 - sin(a) * (sin(a)/cos(a)))/(sin(a)/cos(a)).
   • Упрощаем: (1 - sin^2(a)/cos(a))/(sin(a)/cos(a)).
   • Умножаем числитель и знаменатель на cos(a): (cos(a) - sin^2(a))/(sin(a)).
   • Используем тождество sin(a) = 1 - cos^2(a): (cos(a) - (1 - cos^2(a))^2)/(1 - cos^2(a)).
   • Раскрываем квадрат и упрощаем: (cos(a) - (1 - 2cos^2(a) + cos^4(a)))/(1 - cos^2(a)).
   • Раскрываем скобки: (cos(a) - 1 + 2cos^2(a) - cos^4(a))/(1 - cos^2(a)).
   • Группируем члены: (2cos^2(a) - cos^4(a) + cos(a) - 1)/(1 - cos^2(a)).

3. Рассмотрим третью часть выражения: sin^2(a) + cos(π/3 - a) * cos(π/3 + a).

   • Заметим, что cos(π/3 - a) * cos(π/3 + a) = cos^2(π/3) - cos(a) * sin(a).
   • Поскольку cos(π/3) = 1/2, получаем: (