Question

Y=x+sinx как найти точки перегиба интервалы выпуклости и впуклости функции

Answer 1

По второй производной
f'=1+cosx
f "=-sinx
f ''=0 ⇒-sinx=0⇒x=πn n∈Z - точки перегиба
промежутки вогнутости [2πn;π+2πn]
выпуклости [π+2πn;2πn]

Answer 2

Чтобы найти точки перегиба функции y = x + sin(x), нужно найти значения x, при которых вторая производная функции равна нулю или не существует. Для этого выполните следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции y по x, используя правило дифференцирования суммы функций: y' = 1 + cos(x)

2. Найдите вторую производную функции y' по x, используя ту же самую формулу: y'' = -sin(x)

3. Решите уравнение y'' = 0, чтобы найти точки перегиба: -sin(x) = 0

   Учитывая, что sin(x) равен нулю в точках x = 0, π, 2π, и т.д., получаем, что точки перегиба находятся при x = nπ, где n - целое число.

Теперь рассмотрим интервалы выпуклости и впуклости функции. Чтобы определить выпуклость или впуклость функции на определенном интервале, нужно проанализировать знак второй производной.

1. Возьмите произвольную точку из интервала и подставьте ее во вторую производную функции y''.

   • Если y'' > 0, то функция выпукла на данном интервале.
   • Если y'' < 0, то функция вогнута на данном интервале.

2. Изучите поведение функции на границах интервалов и в точках перегиба.

   • Если функция имеет точку перегиба на интервале, то это будет точка перехода между выпуклостью и впуклостью.
   • Если функция имеет горизонтальную асимптоту на интервале, она может менять выпуклость и впуклость в зависимости от ее поведения относительно асимптоты.

Применяя эти шаги к функции y = x + sin(x), вы можете определить интервалы выпуклости и впуклости, а также точки перегиба.