Question

пусть [и] - целая часть числа и, то есть наибольшее целое, не превосходящее и. Решите в вещественных числах уравнение [х+1/6]+[x+3/6]+[5/6]=[x]+[x+2/6]+[x+4/6].

Answer 1

$[x+\frac{1}{6}]+[x+\frac{3}{6}]+[\frac{5}{6}]=[x]+[x+\frac{2}{6}]+[x+\frac{4}{6}]\\ \frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{4}{6}=[0]$

положим что 
$x \geq 1$
$[x+\frac{1}{6}]+[x+\frac{3}{6}]+[\frac{5}{6}]=[x]+[x+\frac{2}{6}]+[x+\frac{4}{6}]\\ \frac{5}{6}=[0]\\ |x+\frac{1}{6}]+[x+\frac{3}{6}]=[x]+[x+\frac{2}{6}]+[x+\frac{4}{6}]$

оно имеет больше одного решения так как ,  сделаем замену , возьмем для крайности самый больший из чисел  $\frac{4}{6}$, пусть 
$|x+\frac{4}{6} ]= [a]\\ x=a-\frac{4}{6}$ подставим , и сократим в итоге получим 
$\frac{6a-2}{3} =3a-1$ отудога
$a=\frac{1}{3}\\ x=\frac{-1}{3}$
и это не единственное решение 

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по частям. Обозначим x как целую часть числа x и дробную часть числа x как {x}.

По определению целой части числа и, [и] ≤ и < [и] + 1 для любого вещественного числа и.

Рассмотрим каждое слагаемое уравнения по отдельности:

[х + 1/6] = [х] + 1, так как {х + 1/6} < 1/6, а [х] + 1 ≤ х + 1/6 < [х] + 2.

[х + 3/6] = [х] + 1, так как {х + 3/6} < 3/6, а [х] + 1 ≤ х + 3/6 < [х] + 2.

[5/6] = 1, так как {5/6} = 5/6 < 1.

[x] = x, так как x является целой частью числа x.

[x + 2/6] = x + 1, так как {x + 2/6} < 2/6, а x + 1 ≤ x + 2/6 < x + 2.

[x + 4/6] = x + 1, так как {x + 4/6} < 4/6, а x + 1 ≤ x + 4/6 < x + 2.

Теперь заменим все слагаемые в исходном уравнении и упростим:

[х] + 1 + [х] + 1 + 1 = x + x + 1 + x + 1

2[х] + 3 = 3x + 2

2[х] = 3x - x + 2 - 3

2[х] = 2x - 1

[х] = x - 1/2

Таким образом, решение уравнения в вещественных числах будет x = [х] + {х} = (x - 1/2) + {x}.

Так как x - 1/2 является целой частью числа x, то любое вещественное число x может быть записано как x = n + 1/2, где n - целое число. Подставим это значение в выражение выше:

x = (n + 1/2) + {n + 1/2}

x = n + 1/2 + {n} + 1/2

x = n + {n} + 1

Таким образом, решением уравнения в вещественных числах будет x = n + {n} + 1, где n - любое целое число.