Question

Найти одну из первообразных функции f (x)=3ex-sin2x

Answer 1

F(x) = 3e^x - sin2x
F(x) - ?
F(x) = ∫(3е^х - sin2x)dx = ∫3e^xdx - ∫sin2xdx = 3e^x - (-½cos2x) + С = 3e^x + ½cos2x + С
Вместо С можно поставить любое действительное число, например, 1
Ответ: 3е^х + ½cos2x + 1

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 3e^x - sin(2x), мы можем использовать правила дифференцирования и интегрирования.

Интегрируя каждый член отдельно, получим:

∫(3e^x) dx = 3∫e^x dx = 3e^x + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

Интегрируем второй член:

∫sin(2x) dx.

Для интегрирования этого выражения мы можем использовать метод интегрирования по частям (интегрирование по частям):

Пусть u = sin(2x), а dv = dx. Тогда du = 2cos(2x) dx, а v = ∫dx = x.

Используя формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du, получим:

∫sin(2x) dx = -cos(2x) + C2,

где C2 - ещё одна произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 3e^x - sin(2x) будет:

F(x) = 3e^x - cos(2x) + C,

где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.