Question

eравнения методом введения новой переменной. 1.) √3  * сos3x = sin6x 2.) sin^2 (pi + x/2 )- 1/2 sinx=0 3.)lg^2  x^2+lg10x-6=0 4.)3^x + 3^-x+1 = 4 5.)2cos^2 X - 7 cosX-4=0 6.)16x-15√ x  - 1 =0 7.) 2-x+3√ 2-x = 4   решите пожалуйста.

Answer 1

1.) √3  * сos3x = sin6x

 √3  * сos3x = 2*sin3x * сos3x

√3  * сos3x - 2*sin3x * сos3x = 0

сos3x(√3 - 2*sin3x)=0

а)сos3x=0

б)√3 - 2*sin3x=0

 

а)х=pi/3+(pi*K)/3

б)x=((-1)^N*pi)/9+(pi*N)/3

 

 

Остальные примеры легки...

Answer 2

Давайте по очереди решим каждое уравнение с помощью метода введения новой переменной.

1. √3 * cos(3x) = sin(6x)

Введем новую переменную t = 3x, тогда уравнение примет вид: √3 * cos(t) = sin(2t)

Используя тригонометрические тождества, мы можем записать: √3 * cos(t) = 2sin(t)cos(t)

Разделим обе части уравнения на cos(t) и учтем, что cos(t) ≠ 0: √3 = 2sin(t)

Теперь выразим sin(t): sin(t) = √3 / 2

Из таблицы значений тригонометрических функций мы можем найти, что sin(π/3) = √3 / 2. Таким образом, у нас два значения для t: t₁ = π/3 и t₂ = 2π/3

Теперь найдем значения x: Для t₁: 3x₁ = π/3 => x₁ = π/9 Для t₂: 3x₂ = 2π/3 => x₂ = 2π/9

2. sin²(π + x/2) - 1/2 * sin(x) = 0

Введем новую переменную t = π + x/2, тогда уравнение примет вид: sin²(t) - 1/2 * sin(2t - π) = 0

Используя формулу двойного угла для синуса, получаем: sin²(t) - 1/2 * (-sin(2t)) = 0 sin²(t) + 1/2 * sin(2t) = 0

Теперь выразим sin(2t): sin(2t) = -2sin(t)cos(t)

Подставим это обратно в уравнение: sin²(t) + 1/2 * (-2sin(t)cos(t)) = 0 sin²(t) - sin(t)cos(t) = 0

Разделим обе части на sin(t) и учтем, что sin(t) ≠ 0: sin(t) - cos(t) = 0

Теперь используем тригонометрическую формулу: sin(t) = cos(t)

Это выполняется, когда t равно кратному π/4: t = π/4, 5π/4, 9π/4, ...

Теперь найдем значения x: Для t = π/4: x = 2(t - π) = 2(π/4 - π) = -3π/2 Для t = 5π/4: x = 2(t - π) = 2(5π/4 - π) = -3π/4 Для t = 9π/4: x = 2(t - π) = 2(9π/4 - π) = -π/2

3. lg²(x²) + lg(10