Question

Докажите, что многочлен не принимает отрицательных значений : m^2 - 2mn + n^2 + p^2

Answer 1

m^2 - 2mn + n^2 + p^2= (m - n)^2 + p^2 , то есть данное выражение представляет собой сумму квадратов, каждый из которых не может быть отрицательным

Answer 2

Для доказательства того, что многочлен $m^2 - 2mn + n^2 + p^2$ не принимает отрицательных значений для всех действительных чисел $m$, $n$ и $p$, нам нужно использовать метод полного квадрата.

Раскрывая скобки, получаем: $m^2 - 2mn + n^2 + p^2$

Можно переписать первые два члена как квадрат разности: $m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$

Теперь заменим это в исходном многочлене: $(m - n)^2 + p^2$

Мы видим, что оба члена многочлена $(m - n)^2$ и $p^2$ являются неотрицательными, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицательный.

Таким образом, сумма двух неотрицательных чисел также будет неотрицательной.

Следовательно, многочлен $m^2 - 2mn + n^2 + p^2$ не принимает отрицательных значений для всех действительных чисел $m$, $n$ и $p$.