Question

Построить график функции очень подробно и с разъяснением y=2/(x^2+4)

Answer 1

$y= \frac{2}{x^2+4} \\\\1)\; \; ODZ:\; \; x\in (-\infty ,+\infty )\\\\2)\; \; y(-x)= \frac{2}{(-x)^2+4}=\frac{2}{x^2+4} \quad \to \; \; chetnaya\\\\3)\; \; OX:\; \; y=0\; \; \to \; \; \frac{2}{x^2+4} =0\; \; \Rightarrow \; \; x\in \varnothing \\\\(net\; peresecheniya\; s\; OX)\\\\3)\; \; OY:\; \; x=0\; \; \to \; \; y(0)= \frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\\\4)\; \; Kriticheskie\; tochki:\\\\y'=\frac{-2\cdot 2x}{(x^2+4)^2}=-\frac{4x}{(x^2+4)^2}=0\; \; \to \; \; x=0\; ,\; y(0)=\frac{1}{2}\\\\5)\; \; Znaki\; y'(x):\;$

$++++++(0)------\\\\.\qquad \; \; \; \nearrow \; \quad (0)\; \; \; \; \; \searrow \\\\vozrastaet:x\in (-\infty ,0)\; ,\; \; ybuvaet:\; \; x\in (0,+\infty )\\\\x_{max}=0\; ,\; y_{max}=\frac{1}{2}\\\\6)\; \; y''= \frac{-4(x^2+4)+4x\cdot 2\cdot (x^2+4)\cdot 2x}{(x^2+4)^2} = \frac{4(3x^2-4)}{(x^2+4)^3} =0\\\\3x^2-4=0\; ,\; \; x^2=\frac{4}{3}\; \; \to \; \; x=\pm \frac{2}{\sqrt3}\approx \pm 1,15\\\\7)\; \; Znaki\; \; y''(x):$

$+++(-\frac{2}{\sqrt3})---(\frac{2}{\sqrt3})+++\\\\Vognytaya:\; \; x\in (-\infty ,\frac{2}{\sqrt3})\cup (\frac{2}{\sqrt3},+\infty )\\\\Vupyklaya:\; \; x\in (-\frac{2}{\sqrt3},\frac{2}{\sqrt3}) \\\\ y(\pm \frac{2}{\sqrt3})= \frac{2}{ \frac{4}{3}+4}=\frac{3}{8}=0,375 \\\\7)\; \; y(x)=\frac {2}{x^2+4}\ \textgreater \ 0\; \; pri\; \; x\in (-\infty ,+\infty )\\\\y(x)\in (0,+\infty )\\\\8)\; \; Asimptotu:\; \; \lim\limits _{x \to \infty}y(x)= \lim\limits _{x \to \infty}\frac{2}{x^2+4}=[\frac{2}{\infty }]=0\; \; \to \\\\asimptota\; \; y=0$

Answer 2

Y=2/(x²+4)
D(y)∈R
y(-x)=2/((-x)²+4)=2/(x²+4) четная
y`=-4x/(x²+4)²=0
x=0
       +                     _
----------------(0)--------------------
возр            max  убыв
y(0)=1/2
y``(x)=(-4(x²+4)²-2(x²+4)*2x*(-4x))/(x²+4)^4=-4(x²+4)(x²+4-4x²)/(x²+4)^4=
=-4(x²+4)(4-3x²)/(x²+4)^4=0
4-3x²=0
x=-2/√3  x=2/√3
    _                                +                              _
-----------------(-2/√3)--------------------(2/√3)-----------------
выпук вверх          вогн вниз                     выпук вверх
y(-2/√3)=2/(4/3+4)=3/8
y(2/√3)=3/8

Answer 3

Хорошо! Давайте построим график функции y = 2/(x^2 + 4) подробно и разъясним каждый шаг.

1. Определение области определения функции: Функция y = 2/(x^2 + 4) определена для всех действительных значений x, так как знаменатель x^2 + 4 никогда не становится равным нулю.

2. Асимптоты: Найдем вертикальные и горизонтальные асимптоты функции.

   Вертикальные асимптоты: Когда x стремится к плюс или минус бесконечности, значение функции стремится к нулю. Таким образом, у нас есть вертикальные асимптоты x = +∞ и x = -∞.

   Горизонтальная асимптота: Когда x стремится к плюс или минус бесконечности, значение функции также стремится к нулю. Таким образом, у нас есть горизонтальная асимптота y = 0.

3. Точка пересечения с осями координат: Для нахождения точек пересечения с осями координат, мы приравниваем y к нулю и решаем уравнение: 2/(x^2 + 4) = 0 Поскольку знаменатель никогда не равен нулю, то уравнение не имеет решений. Следовательно, график не пересекает ось y.

4. Поведение функции вблизи нуля: Когда x стремится к нулю, значение функции убегает на плюс или минус бесконечность. Это происходит из-за того, что x^2 + 4 приближается к 4, а 2/4 равно 1/2.

5. Построение графика: Теперь, когда мы рассмотрели основные свойства функции, мы можем построить график. Важно заметить, что график будет симметричным относительно оси y, так как функция является четной.

   Давайте начнем, выбрав несколько значений x и находим соответствующие значения y:

   Для x = -4, y = 2/((-4)^2 + 4) = 2/(16 + 4) = 2/20 = 1/10 = 0.1 Для x = -2, y = 2/((-2)^2 + 4) = 2/(4 + 4) = 2/8 = 1/4 = 0.25 Для x = 0, y = 2