Question

точка случайно попадает на окружность радиуса R с равномерным распределением вероятностей по длине дуги. найти закон распределения проекции этой точки на диаметр

Answer 1

Центр координат помещаем в центр окружности. Будем искать закон распределения по оси Х.

Уравнение окружности
x^2+y^2=R^2
y=R√(1-x^2/R^2)
Длина окружности 2πR.
Вероятность попадания на окружность 1.
Плотность распределена равномерно.
f(x)= 2/2π/y - две полуокружности.
f(x) = 1/(πR*√(1-x^2/R^2)) - искомая функция. -R <=x<= R

Проверяем
F'(x) = f(x)
F(-R)= 0
F(x) = arcsin(x/R)/π+1/2
F(R)=1

На графике красным f(x)
синим F(x)

Answer 2

Для нахождения закона распределения проекции точки на диаметр окружности, мы можем рассмотреть геометрические свойства окружности.

Пусть A будет случайной точкой на окружности радиуса R. Мы хотим найти закон распределения проекции этой точки на диаметр.

Поскольку точка A равномерно распределена по длине дуги, вероятность попадания точки в определенный сегмент дуги пропорциональна длине этого сегмента дуги. Длина сегмента дуги зависит от угла между диаметром, на котором проецируется точка, и радиусом, соединяющим центр окружности с точкой A.

Для нахождения закона распределения проекции точки на диаметр, нам нужно определить зависимость между углом и длиной сегмента дуги.

Рассмотрим диаметр, на который проецируется точка A. Пусть B будет точкой на этом диаметре, которая соединяет центр окружности с проекцией точки A. Обозначим угол между радиусом, соединяющим центр с точкой A, и диаметром как θ.

Угол θ может принимать значения от 0 до 180 градусов. При θ = 0 градусов, точка A совпадает с одним из концов диаметра, а при θ = 180 градусов, точка A совпадает с противоположным концом диаметра.

Зависимость длины сегмента дуги от угла θ можно описать следующим образом: длина сегмента дуги равна R * θ, где θ измеряется в радианах.

Теперь рассмотрим проекцию точки A на диаметр. Обозначим эту проекцию как X. Заметим, что значение X будет зависеть от угла θ.

Поскольку точка A равномерно распределена по длине дуги, вероятность попадания точки в определенный сегмент дуги пропорциональна длине этого сегмента. Следовательно, вероятность попадания проекции X в определенный интервал на диаметре будет пропорциональна длине сегмента дуги, из которого получается этот интервал.

Зная, что длина сегмента дуги равна R * θ, мы можем