Question

Вычислить интеграл xdx/(1+x^2)^2 срочноооооо

Answer 1

$\int \frac{x\, dx}{(1+x^2)^2}=\Big [\; t=1+x^2\; ,\; dt=2x\, dx\; \Big ]=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2}=\frac{1}{2}\int t^{-2}\, dt=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{2t}+C=-\frac{1}{2(1+t^2)}+C\; .$

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, мы можем воспользоваться методом частичной интеграции. Формула для этого метода имеет вид:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и v - функции, а du и dv - соответствующие дифференциалы.

В данном случае, мы можем выбрать:

u = x, dv = dx/(1+x^2)^2,

тогда:

du = dx, v = ∫dv = -1/(2(1+x^2)).

Применяя формулу частичной интеграции, получаем:

∫x dx/(1+x^2)^2 = (-x)/(2(1+x^2)) - ∫(-1/(2(1+x^2))) dx.

Вычислим последний интеграл:

∫(-1/(2(1+x^2))) dx = -1/2 ∫(1/(1+x^2)) dx.

Для вычисления этого интеграла можно сделать замену переменной, пусть x = tan(t), тогда dx = dt/(cos^2(t)):

-1/2 ∫(1/(1+x^2)) dx = -1/2 ∫(1/(1+tan^2(t))) dt/(cos^2(t)).

Используя соотношение 1 + tan^2(t) = sec^2(t), получаем:

-1/2 ∫(1/(1+tan^2(t))) dt/(cos^2