Question

Докажите тождество1)(2-sina)(2+sina)+(2-cosa)(2+cosa)=72)sin^4a-cos^4a=sin^2a-cos^2a.

Answer 1

$(2-sin\alpha)(2+sin\alpha)+(2-cos\alpha)(2+cos\alpha)=7\\2^2-sin^2\alpha+2^2-cos^2\alpha=7\\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\sin^4\alpha-cos^4\alpha=sin^2\alpha-cos^2\alpha\\sin^4\alpha-sin^2\alpha-cos^4\alpha+cos^2\alpha=0\\sin^2\alpha(sin^2\alpha-1)-cos^2\alpha(cos^2\alpha-1)=0\\sin^2\alpha*(-cos^2\alpha)-cos^2\alpha*(-sin^2\alpha)=0\\-sin^2\alpha cos^2\alpha+sin^2\alpha cos^2\alpha=0$

Answer 2

Для доказательства данных тождеств, начнем с первого:

1. (2 - sin a)(2 + sin a) + (2 - cos a)(2 + cos a) = 72

Раскроем скобки и упростим выражение:

4 - sin^2 a + 2 sin a + 4 - cos^2 a + 2 cos a = 72

Упростим еще дальше:

8 - (sin^2 a + cos^2 a) + 2 (sin a + cos a) = 72

Так как sin^2 a + cos^2 a = 1 (это следует из тождества Пифагора), заменим это значение:

8 - 1 + 2 (sin a + cos a) = 72

Упростим:

7 + 2 (sin a + cos a) = 72

2 (sin a + cos a) = 72 - 7

2 (sin a + cos a) = 65

sin a + cos a = 65/2

Таким образом, мы получили равенство sin a + cos a = 65/2, которое не равно 72. Следовательно, данное тождество (1) неверно.

Теперь рассмотрим второе тождество:

2. sin^4 a - cos^4 a = sin^2 a - cos^2 a

Раскроем квадраты:

(sin^2 a + cos^2 a)(sin^2 a - cos^2 a) = sin^2 a - cos^2 a

Так как sin^2 a + cos^2 a = 1, заменим это значение:

1(sin^2 a - cos^2 a) = sin^2 a - cos^2 a

sin^2 a - cos^2 a = sin^2 a - cos^2 a

Таким образом, мы получили верное тождество (2), которое доказано.