Question

Решить систему уравнений способом введения новой переменной x+xy+y=11 x2y +xy2=30

Answer 1

xy+x+y=11;                        {xy+x+y=11;   

{x²y+xy²=30.         ⇒           {xy(x+y)=30.

Пусть  х+у=u;    xy=v 

{v+u=11;

{vu=30.

Решаем систему способом подстановки:

{v=11-u;

{(11-u)u=30.

Решаем второе уравнение системы

u²-11u+30=0

D=(-11)²-4·30=121-120=1

u₁=(11-1)/2=5          или          u₂=(11+1)/2=6

v₁=11-u₁=11-5=6     или          v₂=11-6=5

Обратная замена

{x+y=5               или               {x+y=6

{xy=6                                      {xy=5

{y=5-x                                     {y=6-x

{x(5-x)=6                                {x(6-x)=5

Решаем вторые уравнения систем:

x²-5x+6=0                                 x²-6x+5=0

D=25-24=1                              D=36-20=16

x₁=(5-1)/2=2; x₂=(5+1)/2=3                  x₃=(6-4)/2=1; x₄=(6+4)/2=5

y₁=5-2=3;      y₂=5-3=2                        y₃=6-1=5;     y₄=6-5=1 

О т в е т. (2;3)  (3;2)  (1;5)  (5;1).

Answer 2

Для решения данной системы уравнений методом введения новой переменной, предположим, что x + y = t, где t - новая переменная. Тогда система уравнений примет вид:

1. t + xt = 11
2. x^2 * (t - x) + x * (t - x)^2 = 30

Разберемся с первым уравнением: t + xt = 11 Выразим t через x: t = (11 - xt) / x

Подставим это выражение во второе уравнение: x^2 * [(11 - xt) / x - x] + x * [(11 - xt) / x - x]^2 = 30

Упростим выражение: (11 - xt - x^2) + x * (11 - xt - x)^2 = 30

Раскроем скобки: 11 - xt - x^2 + x * (121 - 22xt + x^2) = 30

Упростим: 11 - xt - x^2 + 121x - 22x^2t + x^3 = 30

x^3 - x^2t - 22x^2t + 121x + 11 - 30 = 0

x^3 - (t + 22t)x^2 + 121x + 11 - 30 = 0

x^3 - (23t)x^2 + 121x - 19 = 0

Теперь мы имеем уравнение относительно x. Решим это уравнение численно или графически, чтобы найти значения x. Затем, используя найденные значения x, найдем соответствующие значения y с помощью первого уравнения t = x + y.