Question

Найти определенный интеграл от -2 до 1 ∫▒x(x+3)(2x-1)dx

Answer 1

Преобразуем подынтегральное выражение:
x*(x+3)*(2x-1)=(x²+3x)*(2x-1)=2x³+5x²-3x
S₋₂¹(2x³+5x²-3x)dx=(2*x³⁺¹/(3+1)+5*x²⁺¹/(2+1)-3*x¹⁺¹/(1+1))|₋₂¹=(2x⁴/4+5x³/3-3x²/2)|₋₂¹=(x⁴/2+5x³/3-1,5x²)|₋₂¹=(1⁴-(-2)⁴)/4+5*(1³-(-2)³)/3-1,5*(1²-(-2)²)=-15/2+15+4,5=-7,5+15+4,5=12

Answer 2

Для нахождения определенного интеграла от функции ∫[-2, 1] x(x+3)(2x-1)dx, мы должны сначала найти неопределенный интеграл и затем использовать его для вычисления значения в пределах интегрирования.

Давайте начнем с вычисления неопределенного интеграла данной функции:

∫ x(x+3)(2x-1) dx

Раскроем скобки и упростим выражение:

∫ (2x^3 - x^2 + 6x^2 - 3x) dx

∫ (2x^3 + 5x^2 - 3x) dx

Теперь проинтегрируем каждый член по отдельности:

∫ 2x^3 dx + ∫ 5x^2 dx - ∫ 3x dx

Проинтегрируем каждый член:

(2/4)x^4 + (5/3)x^3 - (3/2)x^2 + C

Теперь, чтобы найти определенный интеграл от -2 до 1, мы подставим верхний предел (1) и нижний предел (-2) в полученное выражение и вычислим разность:

[(2/4)(1)^4 + (5/3)(1)^3 - (3/2)(1)^2] - [(2/4)(-2)^4 + (5/3)(-2)^3 - (3/2)(-2)^2]

Упрощая это выражение, получим:

(1/2 + 5/3 - 3/2) - (2/4 + 40/3 - 12/2)

1/2 + 5/3 - 3/2 - 1/2 - 40/3 + 6

1/2 - 1/2 + 5/3 - 40/3 + 6

5/3 - 40/3 + 6

-35/3 + 6

(6 - 35)/3

-29/3

Таким образом, определенный интеграл от -2 до 1 ∫[-2, 1] x(x+3)(2x-1)dx равен -29/3.