Question

Найти производную: y=ln(ln^3 (arctg 5 x ))

Answer 1

фото................................

Answer 2

Для нахождения производной функции y = ln(ln^3(arctg(5x))), мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule).

1. Начнем с внутренней функции f(x) = arctg(5x). Дифференцируем f(x) по x: f'(x) = d(arctg(5x))/dx.

2. Затем рассмотрим внешнюю функцию g(u) = ln(u^3), где u = ln(arctg(5x)). Дифференцируем g(u) по u: g'(u) = d(ln(u^3))/du.

3. Наконец, применяем правило цепочки, чтобы найти производную функции y по x: y' = g'(u) * f'(x).

Давайте посчитаем каждый шаг по порядку:

Шаг 1: Вычисляем f'(x): f'(x) = d(arctg(5x))/dx.

Формула производной арктангенса: d(arctg(u))/du = 1/(1+u^2).

Подставляем u = 5x: f'(x) = 1/(1+(5x)^2).

Шаг 2: Вычисляем g'(u): g'(u) = d(ln(u^3))/du.

Формула производной натурального логарифма: d(ln(u))/du = 1/u.

Подставляем u = ln(arctg(5x))^3: g'(u) = 1/(ln(arctg(5x))^3).

Шаг 3: Умножаем g'(u) на f'(x): y' = g'(u) * f'(x). = (1/(ln(arctg(5x))^3)) * (1/(1+(5x)^2)).

Таким образом, производная функции y = ln(ln^3(arctg(5x))) равна: y' = (1/(ln(arctg(5x))^3)) * (1/(1+(5x)^2)).