Question

Помогите решить уравнение (желательно с пояснением) cosx+cos2x+cos5x+cos4x=0

Answer 1

$(cosx+cos5x)+(cos2x+cos4x)=0$
$2cos3x*cos2x+2cos3x*cosx=0$
$2cos3x*(cos2x+cosx)=0$
$2cos3x*(2cos^{2}x+cosx-1)=0$
1) $cos3x=0$
$3x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k$, k∈Z
$x= \frac{ \pi }{6}+ \frac{ \pi k}{3}$, k∈Z

2) $2cos^{2}x+cosx-1=0$

Замена: cosx=t∈[-1;1]
$2t^{2}+t-1=0, D=1+8=9$
$t_{1}= \frac{-1+3}{4}=0.5$
$t_{2}= \frac{-1-3}{4}=-1$

Вернемся к замене:
2.1) $cosx=0.5$
$x=+- \frac{ \pi }{3} +2 \pi k$, k∈Z
2.2) $cosx=-1$
$x= \pi +2 \pi k$, k∈Z

Answer 2

Дано уравнение:

cos(x) + cos(2x) + cos(5x) + cos(4x) = 0

Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться формулой суммы косинусов:

cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

Применим эту формулу к первым двум членам уравнения:

cos(x) + cos(2x) = 2 * cos((x + 2x) / 2) * cos((x - 2x) / 2) = 2 * cos(3x / 2) * cos(-x / 2)

И применим формулу к последним двум членам уравнения:

cos(5x) + cos(4x) = 2 * cos((5x + 4x) / 2) * cos((5x - 4x) / 2) = 2 * cos(9x / 2) * cos(x / 2)

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

2 * cos(3x / 2) * cos(-x / 2) + 2 * cos(9x / 2) * cos(x / 2) = 0

Делим уравнение на 2:

cos(3x / 2) * cos(-x / 2) + cos(9x / 2) * cos(x / 2) = 0

Мы знаем, что cos(-A) = cos(A), поэтому уравнение можно переписать следующим образом:

cos(3x / 2) * cos(x / 2) + cos(9x / 2) * cos(x / 2) = 0

Теперь вынесем общий множитель cos(x / 2):

cos(x / 2) * (cos(3x / 2) + cos(9x / 2)) = 0

Теперь у нас есть два случая:

1. cos(x / 2) = 0

Это возможно, когда x / 2 = (2n + 1) * pi / 2, где n - целое число. Решая это уравнение, получаем:

x = (2n + 1) * pi, где n - целое число.

2. cos(3x / 2) + cos(9x / 2) = 0

Заметим, что cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2). Применяя эту формулу, получаем:

2 * cos((3x / 2 + 9x / 2) / 2) * cos((3x / 2 - 9x / 2) / 2) = 0

2 * cos(6x / 2) * cos(-3x / 2) = 0

2 * cos(3x) * cos(-3x / 2) = 0

Теперь рассмотрим два подслучая