Question

Помогите решить выражение с кубическим корнем, пожалуйста :)

Answer 1

Возведём в куб заданное выражение по формуле $(a+b)^3=\\=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ 
 $(\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2})^3=\\\\=7+5\sqrt2+7-5\sqrt2+3\sqrt[3]{(7+5\sqrt2)(7-5\sqrt2)}\cdot (\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2})=\\\\=14+3\sqrt[3]{49-50}(\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2})=\\\\=14-3(\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2})$ 
Переобозначим исходное выражение за t. Это же выражение записано в скобке,
получим
 $t^3=14-3t\\t^3+3t-14=0\\Esli\; t=2,\; to\; 2^3+3\cdot 2-14=8+6-14=0\; \to 2-koren$ 
Раз 2 - корень кубического многочлена, то многочлен должен делиться нацело  на разность t-2.Получим
 $t^3+3t-14=(t-2)(t^2+2t+7)\\t^2+2t+7=0\\D=4-4\cdot 7=-24<0\; \to \; net \; resenij\; \to \\t-2=0,\; t=2\; \to \\\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2}=2$