Question

Докажите, что значение выражения является целым числом:

Answer 1

Пусть первый корень =a, второй корень =b
Тогда докажем что 0< a+b <1
То что a+b>0 очевидно
Докажем что a+b<1. Все переходы что я тут делаю - эквивалентности, поэтому если я в конце получу истину то и нераввенство a+b<1 будет истинно
a<1-b
a^3<(1-b)^3
$1+\sqrt{8}\ \textless \ 1-3b+3b^2-1+\sqrt{8}$
$3b^2-3b-1\ \textgreater \ 0$
Меньший корень этого ур-ия равен $\frac{3-\sqrt{21}}{3}=:c$
докажем что b<c
Очевидно что b<-1. Докажем что c>-1.
$\frac{3-\sqrt{21}}{6}\ \textgreater \ \frac{3-\sqrt{25}}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\ \textgreater \ -1$