Question

Первая космическая скорость для планеты радиусом 5000 км равно 5км/с. Узнать ускорение свободного падения на вершине этой планеты.

Answer 1

Первая космическая скорость (escape velocity) — это минимальная скорость, которую объект должен иметь, чтобы преодолеть гравитационное притяжение планеты и уйти в космос. Для определения первой космической скорости используется следующая формула:

\[ v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \]

где: - \( v \) - первая космическая скорость, - \( G \) - гравитационная постоянная (\( G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \)), - \( M \) - масса планеты, - \( R \) - радиус планеты.

В данном случае планета имеет радиус \( R = 5000 \) км и первая космическая скорость \( v = 5 \) км/с.

Давайте решим уравнение для ускорения свободного падения \( g \) на вершине планеты. Ускорение свободного падения связано с массой планеты и радиусом планеты следующим образом:

\[ g = \frac{GM}{R^2} \]

Сначала найдем массу планеты. Для этого воспользуемся формулой для первой космической скорости:

\[ v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \]

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

\[ v^2 = \frac{2GM}{R} \]

Далее изолируем \( M \):

\[ M = \frac{v^2 R}{2G} \]

Теперь мы можем использовать полученное значение массы в формуле для ускорения свободного падения:

\[ g = \frac{GM}{R^2} \]

Подставляем \( M \) и \( R \):

\[ g = \frac{G \left(\frac{v^2 R}{2G}\right)}{R^2} \]

Сокращаем \( G \) и \( R \):

\[ g = \frac{v^2}{2R} \]

Теперь подставим известные значения:

\[ g = \frac{(5 \, \text{км/с})^2}{2 \times 5000 \, \text{км}} \]

\[ g = \frac{25 \, \text{км}^2/\text{с}^2}{10000 \, \text{км}} \]

\[ g = \frac{0.0025 \, \text{км/\text{с}}^2}{1 \, \text{км}} \]

\[ g = 0.0025 \, \text{м/\text{с}}^2 \]

Таким образом, ускорение свободного падения на вершине этой планеты составляет \(0.0025 \, \text{м/\text{с}}^2\).